Felbonthatatlan elem

Legyenek $a$, $b$ és $c$ egy kommutatív gyűrű elemei. Ha ezekre az elemekre $a=b\cdot c$ teljesül, akkor a $b\cdot c$ szorzatot az $a$ elem felbontásának nevezzük.

Azokat a felbontásokat, amelyekben $b$ és $c$ közül az egyik egység, a másik pedig $a$ asszociáltja, triviális felbontásoknak nevezzük. Bármilyen ettől eltérő felbontást nemtriviális felbontásnak nevezünk.

Ha egy elem saját maga nem egység és nem létezik nemtriviális felbontása – azaz vagy egyáltalán nem létezik felbontása, vagy ha létezik is, az csak triviális lehet –, akkor őt felbonthatatlannak vagy irreducibilisnek nevezzük. Ha egy elem nem felbonthatatlan és nem egység, akkor őt összetett vagy felbontható elemnek nevezzük. Az egységeket nem tekintjük sem felbonthatatlannak, sem pedig összetettnek.

♣