youproof.orgDeep Math. Human Access.

16.16. Definíció

A számelmélet alaptétele

Legyen RR egy tetszőleges integritástartomány. Azt mondjuk, hogy RR-ben érvényes a számelmélet alaptétele, ha RR minden nemnulla és nem egység eleme felbontható RR felbonthatatlan elemeinek szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és az asszociáltságtól eltekintve egyértelmű. Ilyenkor azt mondjuk, hogy RR alaptételes gyűrű. Egy felbonthatatlan elem "felbontása" alatt önmagát, mint "egytényezős szorzatot" értjük.

A felbontás egyértelműsége alatt azt értjük, hogy ha vesszük valamely rr elem két tetszőleges

r=p1⋅p2⋅…⋅pn==q1⋅q2⋅…⋅qk\begin{aligned}r&=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n = \\ &= q_1\cdot q_2\cdot \ldots \cdot q_k\end{aligned}

felbontását, akkor a tényezők száma ugyanannyi – azaz n=kn=k –, és a két felbontás tényezői egymással párba állíthatók úgy, hogy a párok tagjai egymásnak asszociáltjai legyenek.

♣