16.16. Definíció
A számelmélet alaptétele
Legyen R egy tetszőleges integritástartomány. Azt mondjuk, hogy R-ben érvényes a számelmélet alaptétele, ha R minden nemnulla és nem egység eleme felbontható R felbonthatatlan elemeinek szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és az asszociáltságtól eltekintve egyértelmű. Ilyenkor azt mondjuk, hogy R alaptételes gyűrű. Egy felbonthatatlan elem "felbontása" alatt önmagát, mint "egytényezős szorzatot" értjük.
A felbontás egyértelműsége alatt azt értjük, hogy ha vesszük valamely r elem két tetszőleges
\begin{aligned}r&=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n = \\ &= q_1\cdot q_2\cdot \ldots \cdot q_k\end{aligned}
felbontását, akkor a tényezők száma ugyanannyi – azaz n=k –, és a két felbontás tényezői egymással párba állíthatók úgy, hogy a párok tagjai egymásnak asszociáltjai legyenek.
♣