Megjegyzés

Megjegyezzük, hogy a definícióban szereplő fogalmak mindegyike önmagában értelmes a jóval általánosabb kommutatív gyűrűk esetén is. A figyelmesebb Olvasókban így joggal merülhet fel a kérdés, hogy vajon miért csak az integritástartományokra – amelyek a kommutativitáson kívül a nullosztómentességet és az egységelem létezését is megkövetelik – korlátozzuk az alaptételes gyűrű fogalmát?

A nullosztómentességet azért érdemes megkövetelni, mert nullosztók jelenléte esetén eléggé furcsa dolgok is történhetnek. Például előfordulhat, hogy egy nemnulla, nem egység elem tetszőlegesen hosszú szorzatokra bontható úgy, hogy egyik tényező sem egység. Sőt, ezek a felbontások páronként "lényegesen" különbözhetnek is egymástól a fenti értelemben.

Az egységelem létezésére pedig azért van szükség, mert nélküle az asszociáltság természetesnek tűnő, osztókra és többszörösökre épülő 16.6. Definíciója túl tággá válhat: például asszociált elemek között nem feltétlenül teljesülne a kölcsönös oszthatóság. Ráadásul még az sem lenne feltételül igaz, hogy minden elem osztója önmagának.

Az egységelem és a nullosztómentesség együtt biztosítják, hogy ilyen, és ehhez hasonló anomáliák nem fordulhatnak elő, amelyek mellett a klasszikus és jól működő tételeinket lényegesen bonyolultabban lehetne csak megfogalmazni.

♣