Bizonyítás

A 16.11. Definíció alapján azt kell bizonyítani, hogy ez a szorzat $n$-nek egy nemtriviális felbontása, azaz sem $k$, sem pedig $l$ nem egység, és nem is asszociáltja $n$-nek.

Egyrészt a 16.5. Tétel alapján az egész számok $\Z$ gyűrűjében az $1$-en és a $-1$-en kívül nincs más egység. Mivel $1$ pozitív, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján $-1$ negatív. Emiatt $k$ biztosan nem lehet egység, hiszen ő maga pozitív, továbbá határozottan nagyobb $1$-nél.

Másrészt a 16.10. Tétel alapján $n$-nek mindössze két asszociáltja van, méghozzá önmaga, és az ellentettje, azaz $-n$. Mivel $n$ pozitív, ezért a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján $-n$ negatív. Emiatt viszont $k$ biztosan nem lehet $n$ asszociáltja sem, hiszen ő maga pozitív, továbbá határozottan kisebb $n$-nél.

A $k$ egész szám tehát egy olyan osztója $n$-nek, amely se nem egység, se nem asszociáltja $n$-nek. Most ugyanezt kellene megmutatni a fenti szorzat másik tényezőjéről, azaz $l$-ről is. Ez viszont automatikusan teljesül a 16.12. Tétel miatt. Ha ugyanis $l$ egység lenne, akkor ez alapján $k$ szükségképpen $n$-nek asszociáltja lenne. Ha viszont $l$ asszociáltja lenne $n$-nek, akkor $k$ szükségképpen egység lenne. Mindkét esetről láttuk, hogy nem ez a helyzet. Megtaláltuk tehát $n$-nek egy nemtriviális felbontását, így ő a 16.11. Definíció alapján valóban összetett.

Egyrészt, mivel $n\neq 0$, ezért a 16.2. Tétel 4. pontja alapján $k$ és $l$ egyike sem lehet $0$. Másrészt, mivel a fenti felbontás ugye nemtriviális, ezért egyikük sem lehet egység, továbbá egyikük sem lehet asszociáltja $n$-nek. Harmadrészt, indirekt feltevésünk miatt egyikük sem eshet az $1$ és az $|n|=n$ közötti számtartományba. Végül negyedrészt a 17.2. Lemma alapján egyikük sem lehet nagyobb $n$-nél. Összefoglalva tehát $k$ és $l$ mindketten negatívak, határozottan kisebbek $-1$-nél, továbbá $-n$-től különbözőek. Ezt mutatja a 23.2. ábra.

A $k$ és $l$ egész számok ellentettjei tehát szintén osztói $n$-nek, mindketten pozitívak, határozottan nagyobbak $1$-nél, továbbá $n$-től különbözőek. Ezt az alábbi a 23.3. ábra.

A 17.2. Lemma miatt az $n$-nél nagyobb számtartományt ismételten kizárhatjuk. Így végülis indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégiscsak találtunk két olyan osztót – nevezetesen a $-k$ és $-l$ egész számokat –, amelyek $1$-nél nagyobbak, de $|n|=n$-nél kisebbek.

Végezetül nézzük most azt az esetet, amikor $n$ negatív, azaz $n\lt 0$. Ekkor egyrészt a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján $-n$ pozitív. Másrészt pedig a 16.8. Tétel 1. pontja alapján ő $n$-nek asszociáltja, azaz pontosan ugyanazok az osztói, mint $n$-nek. Így $n$ akkor és csak akkor prím, ha $-n$ is, amelyre viszont pozitivitása miatt szóról szóra alkalmazható a fenti gondolatmenet.

∎