Bizonyítás
A tételt elegendő csak pozitív m-ekre igazolni, hiszen a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 3. pontja alapján az ellentettképzés nem befolyásolja a \bmod_m maradékképző függvényt, és így a Z_m gyűrű pontosan akkor nullosztómentes, amikor a Z_{-m} gyűrű is.
Ha m=1, akkor a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 4. pontja alapján Z_m a nullgyűrű, ami nyilván nullosztómentes, tekintve, hogy egyáltalán nincs 0-tól különböző eleme.
Tegyük most fel, hogy m pozitív prímszám, és a Z_m gyűrű valamely a és b elemeinek moduláris szorzata 0, azaz a\odot b=0. Azt kell megmutatni, hogy ekkor a és b közül legalább az egyik szükségképpen 0. Az a\odot b=0 a 18.3. Definíció alapján azt jelenti, hogy \bmod_m(ab)=0, vagyis az ab szorzat m-mel osztva 0 maradékot ad, azaz teljesül az m|ab oszthatóság. De mivel m prím, ezért a 16.13. Definíció alapján ekkor az m|a vagy m|b oszthatóságok közül legalább az egyik szintén teljesül. Első esetben \bmod_m(a)=0, második esetben pedig \bmod_m(b)=0. Azonban a és b maguk is modulo m maradékok, ezért a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján az első esetben a, a második esetben pedig b szintén 0. Ha tehát m pozitív prímszám, akkor Z_m valóban nullosztómentes.
Azt kell még belátni, hogy minden más esetben viszont találhatunk nullosztót. Tegyük fel ezért most, hogy m pozitív, de nem prímszám, és nem is 1. Mivel az egész számok gyűrűjében a 17.23. Tétel alapján teljesül a számelmélet alaptétele, ezért a 16.17. Tétel miatt minden felbonthatatlan egyben prím is. Mivel m nem prímszám, így felbonthatatlan sem lehet. Mivel nem felbonthatatlan, és nem is egység – hiszen pozitív, de nem 1 –, ezért összetett, ami azt jelenti, hogy létezik nemtriviális felbontása, tehát léteznek olyan a és b egész számok, hogy:
Itt az a\lt m és a b\lt m egyenlőtlenségek egyrészt a 17.2. Lemmából, másrészt pedig abból adódnak, hogy a felbontás nemtriviális, azaz a\neq m és b\neq m. Továbbá a 0\lt a és 0\lt b egyenlőtlenségek abból adódnak, hogy a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az ellentettképzés nem befolyásolja az oszthatóságot, így az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a és b pozitívak.
A két egyenlőtlenségből viszont az következik, hogy a és b a Z_m gyűrű olyan nemnulla elemei, amelyek hagyományos szorzata m-mel osztva 0 maradékot ad – nyilván, hiszen ez a szorzat épp m. Ezt a Z_m-beli szorzással kifejezve:
Így tehát ők valóban nullosztók a Z_m-ben.
∎