youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A tételt elegendő csak pozitív mm-ekre igazolni, hiszen a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 3. pontja alapján az ellentettképzés nem befolyásolja a  mod m\bmod_m maradékképző függvényt, és így a ZmZ_m gyűrű pontosan akkor nullosztómentes, amikor a Z−mZ_{-m} gyűrű is.

Ha m=1m=1, akkor a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 4. pontja alapján ZmZ_m a nullgyűrű, ami nyilván nullosztómentes, tekintve, hogy egyáltalán nincs 00-tól különböző eleme.

Tegyük most fel, hogy mm pozitív prímszám, és a ZmZ_m gyűrű valamely aa és bb elemeinek moduláris szorzata 00, azaz a⊙b=0a\odot b=0. Azt kell megmutatni, hogy ekkor aa és bb közül legalább az egyik szükségképpen 00. Az a⊙b=0a\odot b=0 a 18.3. Definíció alapján azt jelenti, hogy  mod m(ab)=0\bmod_m(ab)=0, vagyis az abab szorzat mm-mel osztva 00 maradékot ad, azaz teljesül az m∣abm|ab oszthatóság. De mivel mm prím, ezért a 16.13. Definíció alapján ekkor az m∣am|a vagy m∣bm|b oszthatóságok közül legalább az egyik szintén teljesül. Első esetben  mod m(a)=0\bmod_m(a)=0, második esetben pedig  mod m(b)=0\bmod_m(b)=0. Azonban aa és bb maguk is modulo mm maradékok, ezért a 18.3. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján az első esetben aa, a második esetben pedig bb szintén 00. Ha tehát mm pozitív prímszám, akkor ZmZ_m valóban nullosztómentes.

Azt kell még belátni, hogy minden más esetben viszont találhatunk nullosztót. Tegyük fel ezért most, hogy mm pozitív, de nem prímszám, és nem is 11. Mivel az egész számok gyűrűjében a 17.23. Tétel alapján teljesül a számelmélet alaptétele, ezért a 16.17. Tétel miatt minden felbonthatatlan egyben prím is. Mivel mm nem prímszám, így felbonthatatlan sem lehet. Mivel nem felbonthatatlan, és nem is egység – hiszen pozitív, de nem 11 –, ezért összetett, ami azt jelenti, hogy létezik nemtriviális felbontása, tehát léteznek olyan aa és bb egész számok, hogy:

m=ab0<a<m0<b<m\begin{aligned} &m=ab \\ &0\lt a\lt m \\ &0\lt b\lt m \end{aligned}

Itt az a<ma\lt m és a b<mb\lt m egyenlőtlenségek egyrészt a 17.2. Lemmából, másrészt pedig abból adódnak, hogy a felbontás nemtriviális, azaz a≠ma\neq m és b≠mb\neq m. Továbbá a 0<a0\lt a és 0<b0\lt b egyenlőtlenségek abból adódnak, hogy a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az ellentettképzés nem befolyásolja az oszthatóságot, így az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy aa és bb pozitívak.

A két egyenlőtlenségből viszont az következik, hogy aa és bb a ZmZ_m gyűrű olyan nemnulla elemei, amelyek hagyományos szorzata mm-mel osztva 00 maradékot ad – nyilván, hiszen ez a szorzat épp mm. Ezt a ZmZ_m-beli szorzással kifejezve:

a⊙b=0a\odot b=0

Így tehát ők valóban nullosztók a ZmZ_m-ben.

∎