Megjegyzés
A definícióból azonnal adódnak az alábbi észrevételek:
1.
A \bmod_m maradékképzés valóban egy függvény, mivel a hozzárendelés a 18.2. Tétel alapján egyértelmű. Ez alatt azt értjük, hogy minden egész számhoz pontosan egy modulo m maradék rendelhető, se több, se kevesebb. Megjegyezzük ugyanakkor, hogy a hozzárendelés nyilván nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen egy adott Z_m-beli elem végtelen sok egész szám modulo m maradéka lehet. Például végtelen sok olyan egész szám van, ami 2-vel osztva 1 maradékot ad: nevezetesen minden páratlan szám.
2.
Ennek következménye, hogy a 18.3. Definícióban szereplő \oplus és \odot szimbólummal jelölt műveletek valóban műveletek a 11.3. Definíció szerinti algebrai értelemben is. Ugyanis a definíció szerint a hagyományos összeadás vagy szorzás elvégzése után alkalmazni kell a \bmod_m maradékképző függvényt, amely a Z_m halmazba képez. A két művelet tehát Z_m-beli elemekből alkotott párokhoz valóban Z_m-beli elemeket rendel hozzá, azaz nem vezet ki a Z_m halmazból.
3.
Bármilyen a egész szám modulo m maradéka megegyezik a modulo -m maradékával, hiszen a \bmod_m és a \bmod_{-m} függvények minden m\neq 0 esetén ugyanazt a hozzárendelést valósítják meg. Ugyanis a 15.1. Tétel 4. pontja alapján a=km+r=(-k)(-m)+r, és ha 0\leq r\lt |m| teljesül, akkor az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója értelmében 0\leq r\lt |-m| is nyilván teljesül.
4.
A \bmod_m függvény az |m|=1 vagy |m|=-1 szélsőséges esetekben is értelmes, csak épp nem túl változatos. Ilyenkor ugyanis a Z_m halmaz a 14.12. Definíció szerinti nullgyűrű lesz, azaz mindössze egyetlen elemet fog tartalmazni, méghozzá a 0 egész számot. A \bmod_m maradékképző függvény pedig minden egész számhoz a 0-t fogja hozzárendelni. Nyilván, hiszen az m=1 vagy m=-1 modulusok minden számnak osztói – mivel egységek –, és így a maradék minden esetben 0.
5.
A \bmod_m(a)=a egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha az a egész szám maga is modulo m maradék, azaz teljesül a 0\leq a\lt |m| egyenlőtlenség. Nyilván, hiszen ebben az esetben a maradékos osztás az a=0\cdot m+a alakra egyszerűsödik, így a nemnegatív maradéka m-mel osztva önmaga. Megfordítva: ha a maradéka önmaga – azaz \bmod_m(a)=a –, akkor nyilván teljesül a 0\leq a\lt |m| egyenlőtlenség, hiszen ez a modulo m maradékok definíciója.
6.
Végül megjegyezzük, hogy a Z_m-en értelmezett moduláris összeadásra és szorzásra nincs standard jelölés. A definícióban önkényesen használtuk a \oplus és \odot szimbólumokat, de természetesen ettől kontextustól függően eltérhetünk, ám ezt minden esetben jelezni fogjuk.
♣