Megjegyzés

A $\bmod_m$ maradékképzés valóban egy függvény, mivel a hozzárendelés a 18.2. Tétel alapján egyértelmű. Ez alatt azt értjük, hogy minden egész számhoz pontosan egy modulo $m$ maradék rendelhető, se több, se kevesebb. Megjegyezzük ugyanakkor, hogy a hozzárendelés nyilván nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen egy adott $Z_m$-beli elem végtelen sok egész szám modulo $m$ maradéka lehet. Például végtelen sok olyan egész szám van, ami $2$-vel osztva $1$ maradékot ad: nevezetesen minden páratlan szám.

Ennek következménye, hogy a 18.3. Definícióban szereplő $\oplus$ és $\odot$ szimbólummal jelölt műveletek valóban műveletek a 11.3. Definíció szerinti algebrai értelemben is. Ugyanis a definíció szerint a hagyományos összeadás vagy szorzás elvégzése után alkalmazni kell a $\bmod_m$ maradékképző függvényt, amely a $Z_m$ halmazba képez. A két művelet tehát $Z_m$-beli elemekből alkotott párokhoz valóban $Z_m$-beli elemeket rendel hozzá, azaz nem vezet ki a $Z_m$ halmazból.

Bármilyen $a$ egész szám modulo $m$ maradéka megegyezik a modulo $-m$ maradékával, hiszen a $\bmod_m$ és a $\bmod_{-m}$ függvények minden $m\neq 0$ esetén ugyanazt a hozzárendelést valósítják meg. Ugyanis a 15.1. Tétel 4. pontja alapján $a=km+r=(-k)(-m)+r$, és ha $0\leq r\lt |m|$ teljesül, akkor az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója értelmében $0\leq r\lt |-m|$ is nyilván teljesül.

A $\bmod_m$ függvény az $|m|=1$ vagy $|m|=-1$ szélsőséges esetekben is értelmes, csak épp nem túl változatos. Ilyenkor ugyanis a $Z_m$ halmaz a 14.12. Definíció szerinti nullgyűrű lesz, azaz mindössze egyetlen elemet fog tartalmazni, méghozzá a $0$ egész számot. A $\bmod_m$ maradékképző függvény pedig minden egész számhoz a $0$-t fogja hozzárendelni. Nyilván, hiszen az $m=1$ vagy $m=-1$ modulusok minden számnak osztói – mivel egységek –, és így a maradék minden esetben $0$.

A $\bmod_m(a)=a$ egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha az $a$ egész szám maga is modulo $m$ maradék, azaz teljesül a $0\leq a\lt |m|$ egyenlőtlenség. Nyilván, hiszen ebben az esetben a maradékos osztás az $a=0\cdot m+a$ alakra egyszerűsödik, így $a$ nemnegatív maradéka $m$-mel osztva önmaga. Megfordítva: ha $a$ maradéka önmaga – azaz $\bmod_m(a)=a$ –, akkor nyilván teljesül a $0\leq a\lt |m|$ egyenlőtlenség, hiszen ez a modulo $m$ maradékok definíciója.

Végül megjegyezzük, hogy a $Z_m$-en értelmezett moduláris összeadásra és szorzásra nincs standard jelölés. A definícióban önkényesen használtuk a $\oplus$ és $\odot$ szimbólumokat, de természetesen ettől kontextustól függően eltérhetünk, ám ezt minden esetben jelezni fogjuk.