17.17. Definíció
Euklidészi gyűrűk
Legyen R tetszőleges integritástartomány, és jelöljük R nemnulla elemeinek halmazát R_{\neq 0}-rel, míg R nullelemét 0_R-rel. Legyen továbbá értelmezve egy
f:R_{\neq 0}\to \N
függvény úgy, hogy teljesüljenek az alábbi követelmények:
1.
Tetszőleges R-beli a és b\neq 0_R elemekhez található olyan k hányados és r maradék R-ben, hogy
a=kb+r
2.
Az alábbiak közül legalább az egyik teljesül:
\begin{aligned}
r&=0_R \\
f(r)&<f(b)
\end{aligned}
Ekkor f-et az R integritástartományon értelmezett euklidészi függvénynek, az a és b elemekhez tartozó k és r elemek előállítását pedig euklidészi osztásnak vagy maradékos osztásnak nevezzük. Amennyiben R-hez létezik ilyen tulajdonságú f függvény, úgy R-et euklidészi gyűrűnek nevezzük.
♣