youproof.orgDeep Math. Human Access.

17.17. Definíció

Euklidészi gyűrűk

Legyen RR tetszőleges integritástartomány, és jelöljük RR nemnulla elemeinek halmazát R≠0R_{\neq 0}-rel, míg RR nullelemét 0R0_R-rel. Legyen továbbá értelmezve egy

f:R≠0→Nf:R_{\neq 0}\to \N

függvény úgy, hogy teljesüljenek az alábbi követelmények:

1.
Tetszőleges RR-beli aa és b≠0Rb\neq 0_R elemekhez található olyan kk hányados és rr maradék RR-ben, hogy
a=kb+ra=kb+r
2.
Az alábbiak közül legalább az egyik teljesül:
r=0Rf(r)<f(b)\begin{aligned} r&=0_R \\ f(r)&<f(b) \end{aligned}

Ekkor ff-et az RR integritástartományon értelmezett euklidészi függvénynek, az aa és bb elemekhez tartozó kk és rr elemek előállítását pedig euklidészi osztásnak vagy maradékos osztásnak nevezzük. Amennyiben RR-hez létezik ilyen tulajdonságú ff függvény, úgy RR-et euklidészi gyűrűnek nevezzük.

♣