Megjegyzés

Az euklidészi gyűrű fogalmának bevezetése mögött tehát az a motiváció, hogy az euklidészi algoritmus ne csak a nemnegatív egész számok halmazán működhessen, hanem azt az f euklidészi függvény segítségével ki lehessen terjeszteni integritástartományok lehetőleg minél szélesebb körére is.

Ez azáltal válik lehetségessé, hogy a maradékokhoz az f függvény természetes számokat rendel hozzá, miközben olyan követelményeknek tesz eleget, amely követelmények biztosítják azt, hogy az eljárás véges számú lépés után garantáltan befejeződjön. Ezt a 17.18. Tételben fogjuk precízen kimondani és bizonyítani.

Fontos megjegyezni még, hogy egy euklidészi gyűrűnek, mint algebrai struktúrának nem része a konkrét euklidészi függvény. A definíció szerint elegendő, ha létezik ilyen függvény az adott gyűrűhöz. Sőt, egy euklidészi gyűrűhöz sok esetben több euklidészi függvény is értelmezhető.

Általában azonban igen nehéz annak eldöntése, hogy egy R integritástartomány euklidészi gyűrű-e vagy sem. Természetesen ha találunk egy olyan függvényt, amely euklidészi, akkor R nyilván euklidészi gyűrű. Ha azonban nem találunk ilyen függvényt, akkor ez még önmagában nem elég a nemleges válaszhoz. Ehhez azt kéne igazolni, hogy ilyen függvény egyáltalán nem is létezik az adott R-hez. Ez számos nyitott kérdéshez és sejtéshez vezet, melyek a mai napig bizonyítatlanul várják az utókor ötleteit.

♣