Megjegyzés
Az euklidészi gyűrű fogalmának bevezetése mögött tehát az a motiváció, hogy az euklidészi algoritmus ne csak a nemnegatív egész számok halmazán működhessen, hanem azt az euklidészi függvény segítségével ki lehessen terjeszteni integritástartományok lehetőleg minél szélesebb körére is.
Ez azáltal válik lehetségessé, hogy a maradékokhoz az függvény természetes számokat rendel hozzá, miközben olyan követelményeknek tesz eleget, amely követelmények biztosítják azt, hogy az eljárás véges számú lépés után garantáltan befejeződjön. Ezt a 17.18. Tételben fogjuk precízen kimondani és bizonyítani.
Fontos megjegyezni még, hogy egy euklidészi gyűrűnek, mint algebrai struktúrának nem része a konkrét euklidészi függvény. A definíció szerint elegendő, ha létezik ilyen függvény az adott gyűrűhöz. Sőt, egy euklidészi gyűrűhöz sok esetben több euklidészi függvény is értelmezhető.
Általában azonban igen nehéz annak eldöntése, hogy egy integritástartomány euklidészi gyűrű-e vagy sem. Természetesen ha találunk egy olyan függvényt, amely euklidészi, akkor nyilván euklidészi gyűrű. Ha azonban nem találunk ilyen függvényt, akkor ez még önmagában nem elég a nemleges válaszhoz. Ehhez azt kéne igazolni, hogy ilyen függvény egyáltalán nem is létezik az adott -hez. Ez számos nyitott kérdéshez és sejtéshez vezet, melyek a mai napig bizonyítatlanul várják az utókor ötleteit.
♣