youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Azt már tudjuk a 24.16. Tétel alapján, hogy H_n részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben. Azt kell tehát megmutatnunk, hogy létezik olyan redukált maradékosztály, amely nem eleme H_n-nek. Mivel n páratlan prímhatvány, ezért n=p^c, ahol p valamilyen pozitív páratlan prímszám, továbbá c\geq 2, máskülönben n nem lenne összetett. Megmutatjuk, hogy az [1+p]_n egy redukált maradékosztály, és nem eleme H_n-nek.

Könnyen adódik, hogy p\nmid 1+p. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy nem ez a helyzet, azaz p|1+p. A p|p oszthatóság nyilván teljesül, ezért a 16.2. Tétel 6. pontja alapján teljesül az alábbi is:

p|\underbrace{1+p-p}_{=1}

Ez azonban lehetetlen, hiszen p nem lehet egység, mivel prím. Így viszont a 21.4. Lemma alapján 1+p relatív prím p^c-hez, azaz [1+p]_n valóban redukált maradékosztály.

Most tegyük fel indirekt, hogy [1+p]_n\in H_n. Ez a 24.16. Tétel alapján azt jelenti, hogy az alábbiak közül teljesül legalább az egyik:

\begin{aligned} (1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1 \pmod{p^c} \\ (1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1 \pmod{p^c} \end{aligned}

Tegyük fel, hogy az első kongruencia teljesül. Ekkor c\geq 2 miatt p^2|p^c, tehát alkalmazható a 20.2. Tétel 7. pontja, azaz:

(1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv +1 \pmod{p^2}

Ebből a 24.19. Lemma alapján az alábbi oszthatóság következik:

p|2^{j_{\text{max}}}k

Mivel p prím és p\nmid 2^{j_{\text{max}}} – hiszen p páratlan –, ezért a 16.13. Definíció miatt egyrészt p|k. Másrészt k|n-1, hiszen a 23.9. Definíció miatt n-1=2^ek. Így a 16.2. Tétel 5. pontja alapján:

p|n-1

Továbbá, mivel n=p^c, ezért nyilván p|n, és így a 16.2. Tétel 6. pontja alapján teljesül az alábbi is:

p|\underbrace{n-(n-1)}_{=1}

Ez azonban ellentmondás, hiszen p nem lehet egység, mivel prím.

Az eredeti indirekt feltételezésünk – miszerint [1+p]_n\in H_n – ezek után a 24.16. Tétel értelmében csak úgy teljesülhet, hogy:

(1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv -1 \pmod{p^c}

Most próbáljunk meg ellentmondásra jutni ezen az ágon is. Mivel p|p^c, ezért a 20.2. Tétel 7. pontja szerint ez a kongruencia modulo p is teljesül, azaz egyrészt:

(1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv -1 \pmod p

Másrészt az alábbi kongruencia nyilván teljesül:

1+p\equiv 1\pmod p

A 20.2. Tétel 6. pontja szerint mindkét oldalt a 2^{j_{\text{max}}}k-adik hatványra emelve pedig az alábbit:

(1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv 1 \pmod p

Azt kaptuk, hogy az (1+p)^{2^{j_{\text{max}}}k} hatványkifejezés +1-gyel és -1-gyel is kongruens modulo p, azaz a 20.2. Tétel 3. pontja miatt:

1\equiv -1\pmod p

Ez viszont a 20.1. Tétel 3. pontja miatt azt jelenti, hogy teljesül a p|2 oszthatóság, amiből a 17.2. Lemma miatt p\leq 2 következik. Ez ellentmondás, hiszen p páratlan, és így 2-nél biztosan nagyobb.

Mivel mindkét ágon ellentmondásba kerültünk, ezért [1+p]_n \notin H_n, és így H_n tényleg valódi részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben.

∎