youproof.orgDeep Math. Human Access.

20.2. Tétel

A kongruencia alapvető tulajdonságai

Legyen aa, bb, cc és dd tetszőleges, továbbá m≥0m\geq 0 nemnegatív egész szám. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1.
Teljesül a reflexivitás, azaz:
a≡a(modm)a\equiv a\pmod m
2.
Teljesül a szimmetria, azaz ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m, akkor:
b≡a(modm)b\equiv a\pmod m
3.
Teljesül a tranzitivitás, azaz ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m és b≡c(modm)b\equiv c\pmod m, akkor:
a≡c(modm)a\equiv c\pmod m
4.
Ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m és c≡d(modm)c\equiv d\pmod m, akkor teljesülnek az alábbiak:
a+c≡b+d(modm)a−c≡b−d(modm)ac≡bd(modm)\begin{aligned} a+c&\equiv b+d\pmod m \\ a-c&\equiv b-d\pmod m \\ ac&\equiv bd\pmod m \end{aligned}
5.
Ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m, akkor tetszőleges kk egész szám esetén teljesülnek az alábbiak:
a+k≡b+k(modm)a−k≡b−k(modm)ak≡bk(modm)\begin{aligned} a+k&\equiv b+k\pmod m \\ a-k&\equiv b-k\pmod m \\ ak&\equiv bk\pmod m \end{aligned}
6.
Ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m, akkor tetszőleges 0<n0\lt n egész szám esetén:
an≡bn(modm)a^n\equiv b^n\pmod m

Itt az ana^n és a bnb^n hatványkifejezéseket a 18.8. Tétel szerinti értelemben értjük.

7.
Ha a≡b(modm)a\equiv b\pmod m, akkor minden olyan 0≤k0\leq k egész szám esetén, amelyre teljesül a k∣mk|m oszthatóság, teljesül az alábbi kongruencia is:
a≡b(modk)a\equiv b\pmod k

♣