youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A 20.1. Tétel alapján az egész számok közötti modulo mm kongruencia teljesen ekvivalens az (m)(m) főideál szerinti kongruenciával, ezért minden olyan tétel vonatkozik rá, amelyet az ideál szerinti kongruenciával kapcsolatban már bizonyítottunk.

Az 1., 2. és 3. állítás arról szól, hogy az egész számok közötti kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív, azaz a 13.5. Definíció alapján ekvivalenciareláció. Ezt az ideál szerinti kongruenciára a 18.21. Tételben már igazoltuk.

A 4. állítás a 18.22. Tételből következik, aminek a segítségével az ideál szerinti maradékosztályok közötti műveletek jóldefiniáltságát igazoltuk. Minthogy a kivonás tulajdonképpen ellentettel való összeadás, ezért a kivonásra vonatkozó állítás is teljesül.

Az 5. állítás a 4. állítás speciális esete, amikoris c=d=kc=d=k.

A 6. állítás a 4. állítás speciális esetéből adódik, amikoris c=ac=a és d=bd=b. Itt a szorzásra vonatkozó sor nn-szeri alkalmazásával kapjuk az állítást.

Végül a 7. állítás: Az (m)(m) főideál szerinti kongruencia a 18.20. Definíció alapján azt jelenti, hogy a−b∈(m)a-b\in (m). Mármost ha k∣mk|m, akkor a 19.12. Tétel 1. pontja alapján teljesül az (m)⊆(k)(m)\sube (k) tartalmazási reláció, és így a−b∈(k)a-b\in (k). Ez ismételten a 18.20. Definíció alapján azt jelenti, hogy aa és bb a (k)(k) főideál szerint is kongruens egymással. Mivel kk-ról azt mondtuk, hogy nemnegatív, ezért a 20.1. Tétel szerinti jelölést alkalmazva:

a≡b(modk)a\equiv b\pmod k

∎