Megjegyzés
A tétel bizonyításához kizárólag néhány, ideál szerinti kongruenciákra vonatkozó korábbi állítást, valamint – a 7. állítás esetében – egy főideálok közötti tartalmazási relációt használtunk fel. Emiatt az összes most bizonyított azonosság automatikusan teljesül erre az általánosabb kongruencia-fogalomra is. Így tehát legyenek a, b, c és d egy tetszőleges R gyűrű elemei, valamint I és J tetszőleges ideálok R-ben. Ekkor teljesülnek az alábbiak:
1.
a\equiv a\pod I
2.
Ha a\equiv b\pod I, akkor b\equiv a\pod I.
3.
Ha a\equiv b\pod I és b\equiv c\pod I, akkor a\equiv c\pod I.
4.
Ha a\equiv b\pod I és c\equiv d\pod I, akkor:
\begin{aligned}
a+c&\equiv b+d\pod I \\
a-c&\equiv b-d\pod I \\
ac&\equiv bd\pod I
\end{aligned}
5.
Ha a\equiv b\pod I, akkor tetszőleges k\in R esetén:
\begin{aligned}
a+k&\equiv b+k\pod I \\
a-k&\equiv b-k\pod I \\
ak&\equiv bk\pod I
\end{aligned}
6.
7.
♣