youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, hogy RR minden ideálja végesen generált, ám ennek ellenére az R\mathcal{R} halmazrendszerben nem létezik maximális elem. Ez a 19.7. Definíció alapján azt jelenti, hogy minden X∈RX\in \mathcal{R} ideál esetén létezik Y∈RY\in \mathcal{R} ideál, amelyre teljesül az X⊂YX\sub Y szigorú tartalmazási reláció.

Eszerint tehát R\mathcal{R} elemeiből alkotható egy olyan végtelen, ideálokból álló sorozat, amelyben minden ideál szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt:

I1⊂I2⊂I3⊂…I_1\sub I_2\sub I_3\sub \ldots

Képezzük ennek a végtelen sok ideálnak az únióját, és nevezzük az így kapott halmazt UU-nak. A 19.16. Lemma alapján ekkor UU is ideál az RR gyűrűben. Mivel RR minden ideálja végesen generált, így UU is. Léteznek tehát az RR gyűrűben olyan a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n elemek, amelyek generálják az UU ideált, azaz:

U=(a1,a2,…,an)U=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

Mivel e generátorelemek benne vannak az UU únióhalmazban, ezért minden generátorelemnek benne kell lennie az I1,I2,I3,…I_1, I_2, I_3,\ldots ideálok közül is legalább az egyikben. Mivel ezen ideálok közül mindegyik szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt, ezért kell lennie közöttük egy olyan IkI_k ideálnak, amely már minden generátorelemet tartalmaz – hiszen azok száma véges.

Tehát egyrészt teljesül az U⊆IkU\sube I_k tartalmazási reláció, hiszen a 19.10. Tétel miatt UU a legszűkebb olyan ideál, amely az a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n generátorelemeket tartalmazza. Másrészt a fenti, ideálokból álló sorozat következő tagjára, azaz Ik+1I_{k+1}-re ugye teljesül az Ik⊂Ik+1I_k\sub I_{k+1} szigorú tartalmazási reláció, továbbá az Ik+1⊆UI_{k+1}\sube U tartalmazási reláció is, hiszen Ik+1I_{k+1} egyike azon ideáloknak, amelyek úniójából állítottuk elő az UU ideált. Ezeket összevetve az alábbit kaptuk:

U⊆Ik⊂Ik+1⊆UU\sube I_k\sub I_{k+1}\sube U

Mivel a ⊆\sube és a ⊂\sub relációk a 19.6. Tétel alapján tranzitívak, ezért ez azt jelenti, hogy végsősoron teljesül az U⊂UU\sub U szigorú tartalmazási reláció. Ez viszont lehetetlen, hiszen ez a 19.2. Definíció alapján azt jelentené, hogy létezik olyan x∈Ux\in U, amelyre x∉Ux\notin U, és ez ellentmond a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában megfogalmazott "kizárt harmadik elvének".

Ha tehát RR minden ideálja végesen generált, akkor az R\mathcal{R} halmazrendszernek szükségképpen kell legyen maximuma.

∎