Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, hogy R minden ideálja végesen generált, ám ennek ellenére az \mathcal{R} halmazrendszerben nem létezik maximális elem. Ez a 19.7. Definíció alapján azt jelenti, hogy minden X\in \mathcal{R} ideál esetén létezik Y\in \mathcal{R} ideál, amelyre teljesül az X\sub Y szigorú tartalmazási reláció.
Eszerint tehát \mathcal{R} elemeiből alkotható egy olyan végtelen, ideálokból álló sorozat, amelyben minden ideál szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt:
Képezzük ennek a végtelen sok ideálnak az únióját, és nevezzük az így kapott halmazt U-nak. A 19.16. Lemma alapján ekkor U is ideál az R gyűrűben. Mivel R minden ideálja végesen generált, így U is. Léteznek tehát az R gyűrűben olyan a_1,a_2,\ldots,a_n elemek, amelyek generálják az U ideált, azaz:
Mivel e generátorelemek benne vannak az U únióhalmazban, ezért minden generátorelemnek benne kell lennie az I_1, I_2, I_3,\ldots ideálok közül is legalább az egyikben. Mivel ezen ideálok közül mindegyik szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt, ezért kell lennie közöttük egy olyan I_k ideálnak, amely már minden generátorelemet tartalmaz – hiszen azok száma véges.
Tehát egyrészt teljesül az U\sube I_k tartalmazási reláció, hiszen a 19.10. Tétel miatt U a legszűkebb olyan ideál, amely az a_1, a_2, \ldots, a_n generátorelemeket tartalmazza. Másrészt a fenti, ideálokból álló sorozat következő tagjára, azaz I_{k+1}-re ugye teljesül az I_k\sub I_{k+1} szigorú tartalmazási reláció, továbbá az I_{k+1}\sube U tartalmazási reláció is, hiszen I_{k+1} egyike azon ideáloknak, amelyek úniójából állítottuk elő az U ideált. Ezeket összevetve az alábbit kaptuk:
Mivel a \sube és a \sub relációk a 19.6. Tétel alapján tranzitívak, ezért ez azt jelenti, hogy végsősoron teljesül az U\sub U szigorú tartalmazási reláció. Ez viszont lehetetlen, hiszen ez a 19.2. Definíció alapján azt jelentené, hogy létezik olyan x\in U, amelyre x\notin U, és ez ellentmond a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában megfogalmazott "kizárt harmadik elvének".
Ha tehát R minden ideálja végesen generált, akkor az \mathcal{R} halmazrendszernek szükségképpen kell legyen maximuma.
∎