19.16. Lemma
Ideálok uniója ideál
Legyen R egy gyűrű, valamint legyen \mathcal{S} egy olyan, részgyűrűkből álló halmazrendszer R fölött, amelyben bármely két részgyűrű között legalább az egyik irányban fennáll a \sube szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az \mathcal{S}-ben lévő részgyűrűk úniója is részgyűrű R-ben.
Ehhez hasonlóan legyen \mathcal{I} egy olyan, balideálokból (illetve jobbideálokból) álló halmazrendszer R fölött, amelyben bármely két balideál (illetve jobbideál) között legalább az egyik irányban fennáll a \sube szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az \mathcal{I}-ben lévő balideálok (illetve jobbideálok) úniója is balideál (illetve jobbideál) R-ben.
Végül ha \mathcal{J} egy olyan, (kétoldali) ideálokból álló halmazrendszer R fölött, amelyben bármely két (kétoldali) ideál között legalább az egyik irányban fennáll a \sube szimbólummal jelölt tartalmazási reláció, akkor a \mathcal{J}-ben lévő (kétoldali) ideálok úniója is (kétoldali) ideál R-ben.
♣