Ideálok uniója ideál

Legyen $R$ egy gyűrű, valamint legyen $\mathcal{S}$ egy olyan, részgyűrűkből álló halmazrendszer $R$ fölött, amelyben bármely két részgyűrű között legalább az egyik irányban fennáll a $\sube$ szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az $\mathcal{S}$-ben lévő részgyűrűk úniója is részgyűrű $R$-ben.

Ehhez hasonlóan legyen $\mathcal{I}$ egy olyan, balideálokból (illetve jobbideálokból) álló halmazrendszer $R$ fölött, amelyben bármely két balideál (illetve jobbideál) között legalább az egyik irányban fennáll a $\sube$ szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az $\mathcal{I}$-ben lévő balideálok (illetve jobbideálok) úniója is balideál (illetve jobbideál) $R$-ben.

Végül ha $\mathcal{J}$ egy olyan, (kétoldali) ideálokból álló halmazrendszer $R$ fölött, amelyben bármely két (kétoldali) ideál között legalább az egyik irányban fennáll a $\sube$ szimbólummal jelölt tartalmazási reláció, akkor a $\mathcal{J}$-ben lévő (kétoldali) ideálok úniója is (kétoldali) ideál $R$-ben.

♣

• ↓Alárendelt lap:Bizonyítás