youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az f függvényről a 22.3. Tételben igazoltuk, hogy minden \Z/p\Z \times \Z/q\Z-beli rendezett párhoz pontosan egy \Z/pq\Z-beli maradékosztályt rendel hozzá. Méghozzá azt a maradékosztályt, amely a rendezett pár két komponensének a metszete. A 22.4. Tételben pedig azt mutattuk meg, hogy ilymódon minden \Z/pq\Z-beli maradékosztály pontosan egy \Z/p\Z \times \Z/q\Z-beli rendezett párhoz lehet hozzárendelve, amelyet ráadásul épp a g függvény segítségével kaphatunk meg.

Ez egyrészt azt jelenti, hogy a \Z/p\Z \times \Z/q\Z halmaz elemei kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak a \Z/pq\Z halmaz elemeivel. Másrészt pedig azt jelenti, hogy e kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést az f függvény segítségével az egyik, míg a g függvény segítségével a másik irányban kaphatjuk meg. Más szavakkal az f és g függvények valóban épp egymás megfordításai. Ezt a szituációt mutatja a 22.4. ábra.

Az f és g függvények egymáshoz való viszonya
22.4. ábra: Az f és g függvények egymáshoz való viszonya

Így már csak azt kell igazolni, hogy az f és g függvények rendelkeznek-e a 18.6. Definíció szerinti művelettartó tulajdonsággal. Annak érdekében, hogy világos legyen, melyik műveletet melyik gyűrűben kell elvégezni, a \Z/pq\Z maradékosztálygyűrű összeadását és szorzását a \boxplus és \boxdot, míg a \Z/p\Z \times \Z/q\Z gyűrű összeadását és szorzását a \oplus és \odot szimbólumokkal fogjuk jelölni.

Ezeket a jelöléseket bevezetve tehát azt kell igazolni, hogy tetszőleges a, b, c és d egész számokra teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned} f(([a]_p;[b]_q) \oplus ([c]_p;[d]_q)) &= f(([a]_p;[b]_q))\boxplus f(([c]_p;[d]_q)) \\ f(([a]_p;[b]_q) \odot ([c]_p;[d]_q)) &= f(([a]_p;[b]_q))\boxdot f(([c]_p;[d]_q)) \\ g([a]_{pq} \boxplus [b]_{pq}) &= g([a]_{pq})\oplus g([b]_{pq}) \\ g([a]_{pq} \boxdot [b]_{pq}) &= g([a]_{pq})\odot g([b]_{pq}) \end{aligned}

Kezdjük a g függvénnyel. Az erre vonatkozó két állítás baloldalait a 20.5. Tétel és a g függvény képletének felhasználásával az alábbi módon lehet kifejteni – itt a + és \cdot szimbólumok a szokásos egészek közötti összeadást és szorzást jelölik:

\begin{aligned} g([a]_{pq} \boxplus [b]_{pq}) &= g([a+b]_{pq})=([a+b]_p;[a+b]_q) \\ g([a]_{pq} \boxdot [b]_{pq}) &= g([a\cdot b]_{pq})=([a\cdot b]_p;[a\cdot b]_q) \end{aligned}

Míg a jobboldalakból ezt kapjuk:

\begin{aligned} g([a]_{pq})\oplus g([b]_{pq}) &= ([a]_p;[a]_q)\oplus ([b]_p;[b]_q) \\ g([a]_{pq})\odot g([b]_{pq}) &= ([a]_p;[a]_q)\odot ([b]_p;[b]_q) \end{aligned}

A 22.6. Tétel alapján a kapott rendezett párokat komponensenként kell összeadni illetve összeszorozni. Az első komponenshez szükséges műveleteket a modulo p maradékosztálygyűrűben, míg a második komponenshez szükséges műveleteket a modulo q maradékosztálygyűrűben kell elvégezni. Ismételten a 20.5. Tétel felhasználásával így az alábbit kapjuk:

\begin{aligned}g([a]_{pq})\oplus g([b]_{pq}) &= ([a+b]_p;[a+b]_q) \\ g([a]_{pq})\odot g([b]_{pq}) &= ([a\cdot b]_p;[a\cdot b]_q)\end{aligned}

A g-re vonatkozó két állítás bal- és jobboldalai tehát megegyeznek, azaz a g függvény tartja mindkét műveletet, így ő egy gyűrűizomorfizmus \Z/pq\Z és \Z/p\Z \times \Z/q\Z között.

Mivel az f függvény a g függvény megfordítása, ezért a 18.6. Definíció utáni megjegyzés 2. pontja alapján ő is egy gyűrűizomorfizmus a két gyűrű között, csak épp a másik irányba képez.

∎