22.7. Tétel
Maradékosztálygyűrűk dekompozíciója
Legyenek p\gt 0 és q\gt 0 valamilyen egymáshoz relatív prím pozitív egész számok. Ekkor a 22.6. Tétel szerint értelmezett \Z/p\Z \times \Z/q\Z szorzatgyűrű izomorf a \Z/pq\Z maradékosztálygyűrűvel, azaz:
\Z/p\Z \times \Z/q\Z\simeq \Z/pq\Z
Legyenek a, b és c tetszőleges egész számok, továbbá tegyük fel, hogy az x_1 és x_2 egész számok kielégítik az alábbi kongruenciákat:
\begin{aligned}
px_1&\equiv 1\pmod q \\
qx_2&\equiv 1\pmod p
\end{aligned}
Ekkor az alábbi f:\Z/p\Z \times \Z/q\Z \to \Z/pq\Z és g:\Z/pq\Z \to \Z/p\Z \times \Z/q\Z leképezések épp egymás megfordításai, továbbá mindketten gyűrűizomorfizmusok a két gyűrű között:
\begin{aligned}
f(([a]_p;[b]_q))&=[aqx_2 + bpx_1]_{pq} \\
g([c]_{pq})&=([c]_p;[c]_q)
\end{aligned}
♣