22.7. Tétel

Maradékosztálygyűrűk dekompozíciója

Legyenek $p > 0$ és $q > 0$ valamilyen egymáshoz relatív prím pozitív egész számok. Ekkor a 22.6. Tétel szerint értelmezett $Z / p Z \times Z / q Z$ szorzatgyűrű izomorf a $Z / pq Z$ maradékosztálygyűrűvel, azaz:

Z / p Z \times Z / q Z ≃ Z / pq Z

Legyenek $a$ , $b$ és $c$ tetszőleges egész számok, továbbá tegyük fel, hogy az $x_{1}$ és $x_{2}$ egész számok kielégítik az alábbi kongruenciákat:

p x_{1} q x_{2} \equiv 1 (mod q) \equiv 1 (mod p)

Ekkor az alábbi $f : Z / p Z \times Z / q Z \to Z / pq Z$ és $g : Z / pq Z \to Z / p Z \times Z / q Z$ leképezések épp egymás megfordításai, továbbá mindketten gyűrűizomorfizmusok a két gyűrű között:

f (([a]_{p}; [b]_{q})) g ([c]_{pq}) = [a q x_{2} + b p x_{1}]_{pq} = ([c]_{p}; [c]_{q})

♣

Alárendelt lap:Bizonyítás

Iratkozz fel a hírlevelünkre