youproof.orgDeep Math. Human Access.

22.7. Tétel

Maradékosztálygyűrűk dekompozíciója

Legyenek p>0p\gt 0 és q>0q\gt 0 valamilyen egymáshoz relatív prím pozitív egész számok. Ekkor a 22.6. Tétel szerint értelmezett Z/pZ×Z/qZ\Z/p\Z \times \Z/q\Z szorzatgyűrű izomorf a Z/pqZ\Z/pq\Z maradékosztálygyűrűvel, azaz:

Z/pZ×Z/qZ≃Z/pqZ\Z/p\Z \times \Z/q\Z\simeq \Z/pq\Z

Legyenek aa, bb és cc tetszőleges egész számok, továbbá tegyük fel, hogy az x1x_1 és x2x_2 egész számok kielégítik az alábbi kongruenciákat:

px1≡1(modq)qx2≡1(modp)\begin{aligned} px_1&\equiv 1\pmod q \\ qx_2&\equiv 1\pmod p \end{aligned}

Ekkor az alábbi f:Z/pZ×Z/qZ→Z/pqZf:\Z/p\Z \times \Z/q\Z \to \Z/pq\Z és g:Z/pqZ→Z/pZ×Z/qZg:\Z/pq\Z \to \Z/p\Z \times \Z/q\Z leképezések épp egymás megfordításai, továbbá mindketten gyűrűizomorfizmusok a két gyűrű között:

f(([a]p;[b]q))=[aqx2+bpx1]pqg([c]pq)=([c]p;[c]q)\begin{aligned} f(([a]_p;[b]_q))&=[aqx_2 + bpx_1]_{pq} \\ g([c]_{pq})&=([c]_p;[c]_q) \end{aligned}

♣