youproof.orgDeep Math. Human Access.

22.6. Tétel

Gyűrűk direkt szorzata

Legyenek R_1, R_2, ..., R_n tetszőleges gyűrűk, és értelmezzünk két műveletet az R_1\times R_2\times \ldots \times R_n szorzathalmaz tetszőleges (a_1;a_2;\ldots;a_n) és (b_1;b_2;\ldots;b_n) elemei között az alábbi módon:

\begin{aligned} (a_1;a_2;\ldots;a_n)\oplus (b_1;b_2;\ldots;b_n)&=(a_1+b_1;a_2+b_2;\ldots;a_n+b_n) \\ (a_1;a_2;\ldots;a_n)\odot (b_1;b_2;\ldots;b_n)&=(a_1\cdot b_1;a_2\cdot b_2;\ldots;a_n\cdot b_n) \end{aligned}

A \oplus illetve a \odot műveleteket tehát úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek összegeit illetve szorzatait képezzük a megfelelő gyűrűkben.

Ekkor az R_1\times R_2\times \ldots \times R_n halmaz szintén egy gyűrűt alkot ezzel a két művelettel. Ezt a gyűrűt az R_1, R_2, ..., R_n gyűrűk direkt szorzatának, vagy szorzatgyűrűjének nevezzük. E szorzatgyűrű nulleleme egy olyan rendezett n-es, amelynek minden komponensében a megfelelő gyűrű nulleleme áll. Amennyiben az R_1, R_2, ..., R_n gyűrűk mindegyike egységelemes gyűrű, akkor a szorzatgyűrű is egységelemes gyűrű, és egységeleme egy olyan rendezett n-es, amelynek minden komponensében a megfelelő gyűrű egységeleme áll. Azaz:

\begin{aligned} 0_{R_1\times R_2\times \ldots \times R_n}&=(0_{R_1};0_{R_2};\ldots;0_{R_n}) \\ 1_{R_1\times R_2\times \ldots \times R_n}&=(1_{R_1};1_{R_2};\ldots;1_{R_n}) \end{aligned}

A szorzatgyűrű egy tetszőleges (a_1;a_2;\ldots;a_n) elemének \ominus (a_1;a_2;\ldots;a_n)-nel jelölt ellentettjét úgy kapjuk meg, hogy vesszük minden komponens ellentettjét a megfelelő gyűrűben. Azaz:

\ominus (a_1;a_2;\ldots;a_n)=(-a_1;-a_2;\ldots;-a_n)

♣