Bizonyítás
Az 1. állítás: Legyen d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Azt kell bizonyítani, hogy ekkor fennáll az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció, azaz az (a,b) ideál bármely eleme egyúttal a (d) ideálnak is eleme.
Legyen tehát x az (a,b) ideál egy tetszőleges eleme. Mivel R kommutatív és egységelemes – hiszen integritástartomány –, ezért a 20.9. Tétel értelmében x kifejezhető az a és b generátorelemek lineáris kombinációjaként:
Mivel fennállnak a d|a és d|b oszthatóságok – hiszen d közös osztója a-nak és b-nek –, ezért a 16.2. Tétel 7. és 6. pontja miatt fennáll az alábbi oszthatóság is:
Azaz x többszöröse d-nek, ami azt jelenti, hogy benne van a (d) ideál, tehát valóban teljesül az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció.
A 2. állítás: Azt már a 19.18. Tételben igazoltuk, hogy az (a,b)=(d) halmazegyenlőség esetén d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Így most csak annyit kell megmutatni, hogy felírható ua+vb alakban. Mivel nyilván d\in (d), ezért az (a,b)=(d) halmazegyenlőség miatt d\in (a,b). Ám ekkor d a 20.9. Tétel alapján valóban felírható a kívánt alakban.
Visszafelé: Legyen most d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek, és tegyük fel, hogy d felírható ua+vb alakban. Azt kell megmutatni, hogy ebben az esetben teljesül az (a,b)=(d) halmazegyenlőség. Mivel d kitüntetett közös osztó, ezért az 1. állítás miatt fennáll az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció, így már csak a másik irányú tartalmazást – vagyis azt, hogy (d)\sube (a,b) – kell bizonyítani.
Ha x a (d) ideál tetszőleges eleme, akkor az azt jelenti, hogy ő d-nek többszöröse, azaz teljesül a d|x oszthatóság. Ez a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan k\in R, amelyre
De mivel d-ről azt mondtuk, hogy felírható ua+vb alakban, ezért ugyanez igaz lesz x-re is:
Így x a 20.9. Tétel alapján benne van az (a,b) ideálban, tehát valóban teljesül a (d)\sube (a,b) tartalmazási reláció is. Minthogy (d) és (a,b) között mindkét irányban fennáll a tartalmazási reláció, ezért a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja miatt a két halmaz megegyezik.
∎