Bizonyítás
Az 1. állítás: Legyen kitüntetett közös osztója -nak és -nek. Azt kell bizonyítani, hogy ekkor fennáll az tartalmazási reláció, azaz az ideál bármely eleme egyúttal a ideálnak is eleme.
Legyen tehát az ideál egy tetszőleges eleme. Mivel kommutatív és egységelemes – hiszen integritástartomány –, ezért a 20.9. Tétel értelmében kifejezhető az és generátorelemek lineáris kombinációjaként:
Mivel fennállnak a és oszthatóságok – hiszen közös osztója -nak és -nek –, ezért a 16.2. Tétel 7. és 6. pontja miatt fennáll az alábbi oszthatóság is:
Azaz többszöröse -nek, ami azt jelenti, hogy benne van a ideál, tehát valóban teljesül az tartalmazási reláció.
A 2. állítás: Azt már a 19.18. Tételben igazoltuk, hogy az halmazegyenlőség esetén kitüntetett közös osztója -nak és -nek. Így most csak annyit kell megmutatni, hogy felírható alakban. Mivel nyilván , ezért az halmazegyenlőség miatt . Ám ekkor a 20.9. Tétel alapján valóban felírható a kívánt alakban.
Visszafelé: Legyen most kitüntetett közös osztója -nak és -nek, és tegyük fel, hogy felírható alakban. Azt kell megmutatni, hogy ebben az esetben teljesül az halmazegyenlőség. Mivel kitüntetett közös osztó, ezért az 1. állítás miatt fennáll az tartalmazási reláció, így már csak a másik irányú tartalmazást – vagyis azt, hogy – kell bizonyítani.
Ha a ideál tetszőleges eleme, akkor az azt jelenti, hogy ő -nek többszöröse, azaz teljesül a oszthatóság. Ez a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan , amelyre
De mivel -ről azt mondtuk, hogy felírható alakban, ezért ugyanez igaz lesz -re is:
Így a 20.9. Tétel alapján benne van az ideálban, tehát valóban teljesül a tartalmazási reláció is. Minthogy és között mindkét irányban fennáll a tartalmazási reláció, ezért a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja miatt a két halmaz megegyezik.
∎