Bizonyítás
Azt kell megmutatni, hogy a 19.13. Tétel szerinti mindkét feltétel teljesül. Mivel egy R főideálgyűrű minden ideálja generálható egyetlen elemmel, ezért alkalmazható a 19.17. Tétel. Eszerint bármely, főideálokból álló R feletti halmazrendszernek van maximuma a 19.7. Definíció szerinti értelemben, így teljesül az 1. feltétel.
Legyen a és b az R főideálgyűrű két tetszőleges eleme, és képezzük belőlük az (a,b) ideált, ami ugye a 19.10. Tétel alapján létezik. Minthogy R főideálgyűrű, ezért az (a,b) ideál generálható egyetlen elemmel is. Legyen ez az elem d, azaz:
A 19.18. Tétel alapján d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Mivel tehát igazoltuk, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, ezért a 17.12. Tétel alapján minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú. Azaz teljesül a 19.13. Tétel szerinti 2. feltétel is, és így R valóban alaptételes.
∎