Bizonyítás

A 20.1. Tételben bevezetett modulo m kongruencia ekvivalens az I=(m) főideál szerinti kongruenciával. Ez utóbbi a 18.21. Tétel alapján valóban egy ekvivalenciareláció, így tehát a modulo m kongruencia is az, továbbá pontosan ugyanazok lesznek a maradékosztályaik.

Ha a egy tetszőleges egész szám, akkor az a-t tartalmazó modulo I maradékosztály szintén a 18.21. Tétel alapján épp az a+I halmaz lesz, ahol a + szimbólum a 18.19. Definícióban bevezetett komplexusösszeadást jelöli. Ez a halmaz tehát meg fog egyezni az a-t tartalmazó modulo m maradékosztállyal, ezért elég meghatároznunk az a+I halmazt. Minthogy az I=(m) főideál épp m többszöröseit tartalmazza, ezért az a+I halmaz valóban éppen a km + a alakban felírható egész számokból áll. Speciálisan ha m=0, akkor ilymódon minden egész szám külön maradékosztályba kerül, így ezek száma valóban végtelen.

Ha m\gt 0, akkor az I=(m) szerinti kongruencia ekvivalens a 18.3. Definícióban bevezetett \bmod_m maradékképző függvény, mint gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruenciával, hiszen az I=(m) főideál épp ennek a gyűrűhomomorfizmusnak a magja. Mármost ennek a kongruenciának a maradékosztályai – amelyek tehát megegyeznek az I=(m) főideál szerinti és így a modulo m maradékosztályokkal – a 18.9. Definíció alapján épp azok a halmazok lesznek \Z-ben, amelyeknek az elemeihez a \bmod_m maradékképző függvény azonos elemet rendel hozzá a 18.3. Definíció szerinti Z_m halmazból. Ez látható a 20.1. ábrán.

Következésképp m\gt 0 esetben a modulo m maradékosztályok száma épp meg fog egyezni a Z_m gyűrű elemszámával, amely valóban m.

∎