Bizonyítás
Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy egy valamilyen c elem relatív prím ab-hez, de nem relatív prím a-hoz. Ez a 17.10. Definíció alapján azt jelentené, hogy létezik olyan n elem, amely közös osztója a-nak és c-nek, de nem egység. Ekkor a 16.2. Tétel 7. pontja miatt n közös osztója lenne ab-nek és c-nek, és mivel nem egység, ezért – szintén a 17.10. Definíció alapján – c nem lehetne relatív prím az ab szorzathoz. Ilyen n közös osztó tehát nem létezhet, következésképp minden ab-hez relatív prím elem egyben relatív prím a-hoz. Ehhez hasonlóan igazolható, hogy minden ab-hez relatív prím elem egyben relatív prím b-hez is.
Visszafelé: Tegyük fel, hogy egy valamilyen c elem relatív prím a-hoz is és b-hez is. Ez a 17.10. Definíció utáni megjegyzés alapján az alábbiakat jelenti:
Ekkor a 20.11. Tételben megfogalmazott Bézout-lemma miatt felírhatók az alábbi lineáris kombinációk:
A két egyenletet összeszorozhatjuk:
Bontsuk fel a zárójeleket:
Végül emeljük ki c-t és ab-t a baloldali tagokból, és jelöljük az így kapott együtthatókat U-val és V-vel:
Azaz lényegében előállítottuk az egységelemet c és ab lineáris kombinációjaként az U és V együtthatók segítségével. Mivel az egységelem a 16.3. Definíció utáni megjegyzés alapján mindig egység, ezért ő osztója minden elemnek, tehát közös osztója c-nek és ab-nek. Ekkor azonban alkalmazható a 20.11. Tétel utáni megjegyzésben szereplő állítás – a Bézout-lemma megfordítása –, amely szerint tehát (c,ab)\sim 1, és így c valóban relatív prím az ab szorzathoz.
∎