Bizonyítás

Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy egy valamilyen $c$ elem relatív prím $ab$ -hez, de nem relatív prím $a$ -hoz. Ez a 17.10. Definíció alapján azt jelentené, hogy létezik olyan $n$ elem, amely közös osztója $a$ -nak és $c$ -nek, de nem egység. Ekkor a 16.2. Tétel 7. pontja miatt $n$ közös osztója lenne $ab$ -nek és $c$ -nek, és mivel nem egység, ezért – szintén a 17.10. Definíció alapján – $c$ nem lehetne relatív prím az $ab$ szorzathoz. Ilyen $n$ közös osztó tehát nem létezhet, következésképp minden $ab$ -hez relatív prím elem egyben relatív prím $a$ -hoz. Ehhez hasonlóan igazolható, hogy minden $ab$ -hez relatív prím elem egyben relatív prím $b$ -hez is.

Visszafelé: Tegyük fel, hogy egy valamilyen $c$ elem relatív prím $a$ -hoz is és $b$ -hez is. Ez a 17.10. Definíció utáni megjegyzés alapján az alábbiakat jelenti:

\begin{aligned} (c,a)\sim 1 \\ (c,b)\sim 1 \end{aligned}

Ekkor a 20.11. Tételben megfogalmazott Bézout-lemma miatt felírhatók az alábbi lineáris kombinációk:

\begin{aligned} u_1c+v_1a=1 \\ u_2c+v_2b=1 \end{aligned}

A két egyenletet összeszorozhatjuk:

(u_1c+v_1a)(u_2c+v_2b)=1

Bontsuk fel a zárójeleket:

u_1u_2cc+u_1v_2bc+v_1u_2ac+v_1v_2ab=1

Végül emeljük ki $c$ -t és $ab$ -t a baloldali tagokból, és jelöljük az így kapott együtthatókat $U$ -val és $V$ -vel:

\underbrace{(u_1u_2c+u_1v_2b+v_1u_2a)}_{=U}\cdot c + \underbrace{(v_1v_2)}_{=V}\cdot ab=1

Azaz lényegében előállítottuk az egységelemet $c$ és $ab$ lineáris kombinációjaként az $U$ és $V$ együtthatók segítségével. Mivel az egységelem a 16.3. Definíció utáni megjegyzés alapján mindig egység, ezért ő osztója minden elemnek, tehát közös osztója $c$ -nek és $ab$ -nek. Ekkor azonban alkalmazható a 20.11. Tétel utáni megjegyzésben szereplő állítás – a Bézout-lemma megfordítása –, amely szerint tehát $(c,ab)\sim 1$ , és így $c$ valóban relatív prím az $ab$ szorzathoz.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre