Bizonyítás

Legyen $p$ egy tetszőleges felbonthatatlan elem $R$-ben. Azt tudjuk, hogy $p$ a 16.11. Definíció miatt nem egység, továbbá nem is a nullelem, hiszen tetszőleges $a$ esetén $0a$ egy nemtriviális felbontás, amennyiben $a$ nem egység és nem a nullelem. Azt kell megmutatni, hogy $p$ prímtulajdonságú, azaz hogy ha bármilyen $r$ és $s$ elemek esetén teljesül a $p|rs$ oszthatóság, akkor a $p|r$ vagy $p|s$ oszthatóságok közül is legalább az egyik teljesül.

Nézzük először, mi lehet a helyzet a jobboldalon. Ha $r$ vagy $s$ a nullelem, akkor a 16.2. Tétel 3. pontja miatt nyilván fennáll a $p|r$ vagy $p|s$ oszthatóság, így ebben az esetben $p$ prímtulajdonságú elem.

Az általánosság megsértése nélkül tehát feltehetjük, hogy $r\neq 0$ és $s\neq 0$, azaz $rs\neq 0$ a nullosztómentesség miatt. Ez viszont azt jelenti, hogy az egyenlet baloldalán álló $pt$ sem lehet $0$. Ha $r$ és $s$ közül valamelyik egység, akkor a 16.12. Tétel miatt a másik $pt$ asszociáltja. Azaz a 16.9. Tétel miatt osztható $p$-vel. Tehát ekkor is teljesül a prímtulajdonság.

A speciális esetekből még azt kell megvizsgálni, amikor $t$ egység – $0$ ugye nem lehet, hiszen azt mondtuk, hogy $pt\neq 0$. Mivel $R$ egységelemes, ezért alkalmazható a 16.10. Tétel. Ez alapján a jobboldalon álló $rs$ asszociáltja $p$-nek, hiszen egységszerese. Ám ekkor a 16.9. Tétel miatt teljesül az $rs|p$ oszthatóság. De mivel $p$ felbonthatatlan, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha $r$ és $s$ közül az egyik egység, a másik pedig $p$-nek szintén asszociáltja, és így a 16.9. Tétel miatt osztható vele. A prímtulajdonság tehát ebben az esetben is teljesül.

A számelmélet alaptétele ugyanakkor azt is kimondja, hogy a felbontás asszociáltságtól és a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ebből következik, hogy a baloldalon álló felbonthatatlan elemek mindegyikének kell legyen egy asszociált párja a jobboldalon, így $p$-nek is. Ha ez az $r=r_1\ldots r_n$ szorzat valamelyik tényezője, akkor a 16.9. Tétel miatt ez a tényező – és így persze maga $r$ is – többszöröse $p$-nek, azaz teljesül a $p|r$ oszthatóság. Ha pedig az $s=s_1\ldots s_m$ szorzat valamelyik tényezője, akkor pedig ugyanezen okok miatt teljesül a $p|s$ oszthatóság.

Minden esetben azt kapjuk, hogy $p$ valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.

∎