Bizonyítás
Legyen p egy tetszőleges felbonthatatlan elem R-ben. Azt tudjuk, hogy p a 16.11. Definíció miatt nem egység, továbbá nem is a nullelem, hiszen tetszőleges a esetén 0a egy nemtriviális felbontás, amennyiben a nem egység és nem a nullelem. Azt kell megmutatni, hogy p prímtulajdonságú, azaz hogy ha bármilyen r és s elemek esetén teljesül a p|rs oszthatóság, akkor a p|r vagy p|s oszthatóságok közül is legalább az egyik teljesül.
A p|rs oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan t elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:
Nézzük először, mi lehet a helyzet a jobboldalon. Ha r vagy s a nullelem, akkor a 16.2. Tétel 3. pontja miatt nyilván fennáll a p|r vagy p|s oszthatóság, így ebben az esetben p prímtulajdonságú elem.
Az általánosság megsértése nélkül tehát feltehetjük, hogy r\neq 0 és s\neq 0, azaz rs\neq 0 a nullosztómentesség miatt. Ez viszont azt jelenti, hogy az egyenlet baloldalán álló pt sem lehet 0. Ha r és s közül valamelyik egység, akkor a 16.12. Tétel miatt a másik pt asszociáltja. Azaz a 16.9. Tétel miatt osztható p-vel. Tehát ekkor is teljesül a prímtulajdonság.
A speciális esetekből még azt kell megvizsgálni, amikor t egység – 0 ugye nem lehet, hiszen azt mondtuk, hogy pt\neq 0. Mivel R egységelemes, ezért alkalmazható a 16.10. Tétel. Ez alapján a jobboldalon álló rs asszociáltja p-nek, hiszen egységszerese. Ám ekkor a 16.9. Tétel miatt teljesül az rs|p oszthatóság. De mivel p felbonthatatlan, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha r és s közül az egyik egység, a másik pedig p-nek szintén asszociáltja, és így a 16.9. Tétel miatt osztható vele. A prímtulajdonság tehát ebben az esetben is teljesül.
A fennmaradó esetekben az r, s és t elemeket felírhatjuk felbonthatatlan elemek szorzataként, hiszen R-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Így a fenti egyenletből ezt kapjuk:
A számelmélet alaptétele ugyanakkor azt is kimondja, hogy a felbontás asszociáltságtól és a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ebből következik, hogy a baloldalon álló felbonthatatlan elemek mindegyikének kell legyen egy asszociált párja a jobboldalon, így p-nek is. Ha ez az r=r_1\ldots r_n szorzat valamelyik tényezője, akkor a 16.9. Tétel miatt ez a tényező – és így persze maga r is – többszöröse p-nek, azaz teljesül a p|r oszthatóság. Ha pedig az s=s_1\ldots s_m szorzat valamelyik tényezője, akkor pedig ugyanezen okok miatt teljesül a p|s oszthatóság.
Minden esetben azt kapjuk, hogy p valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.
∎