Bizonyítás
Előszöris az világos, hogy r nemnegatív, hiszen az ő és az ellentettjének a négyzete megegyezik, így ha negatív lenne, akkor nem ő lenne a legnagyobb olyan egész szám, amelyre r^2\leq |n| teljesül.
Másodszor r biztosan nem lehet 0 sem. Az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója alapján n\neq 0-ból |n|\neq 0, azaz végülis 1\leq |n| következik. Ha mármost r=0 lenne, akkor igaz ugyan, hogy a négyzete legfeljebb |n| lenne, ám ekkor lenne nála nagyobb ugyanilyen tulajdonságú szám is – például az 1.
Összefoglalva r-re teljesülni fog az 1\leq r egyenlőtlenség, ebből pedig a 15.11. Definíció 2. pontja miatt r\leq r^2 következik. Ezt összevetve a tétel szövegében szereplő r^2\leq |n| feltétellel teljesül tehát az alábbi:
Ennyi előkészület után igazoljuk a tétel állítását. Tegyük fel, hogy n prím. Ekkor a 23.1. Tétel szerint egyáltalán nincsen osztója 1 és |n| között. Következésképp az ennél szűkebb, 1 és r közötti szakaszon "méginkább" nincs osztója.
Visszafelé: Először azt az esetet igazoljuk, amikoris n pozitív. Tegyük fel, hogy n összetett, azaz létezik valamilyen n=kl nemtriviális felbontása. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy k és l mindketten pozitívak, máskülönben ellentettjüket véve ez az állapot elérhető. Azt kell igazolni, hogy k és l közül legalább az egyik nemnagyobb r-nél. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, vagyis az alábbi két eset valamelyike áll fenn:
Első esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát k-val megszorozva az alábbit kapjuk:
Ez viszont r\lt k miatt lehetetlen, hiszen a tétel szövege alapján r a legnagyobb olyan szám, amelynek négyzete |n|=n-t nem lépi túl.
Ehhez hasonlóan a második esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát l-lel megszorozva ezt kapjuk:
Ez r\lt l miatt az előbb ismertetett okból szintén lehetetlen. Indirekt feltételezésünk hibás volt, vagyis k és l közül az egyik biztosan nem lehet nagyobb r-nél, ahogyan a tétel állítja.
Végezetül nézzük most azt az esetet, amikor n negatív, azaz n\lt 0. Ekkor egyrészt a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján -n pozitív. Másrészt pedig a 16.8. Tétel 1. pontja miatt ő n-nek asszociáltja, azaz pontosan ugyanazok az osztói, mint n-nek. Így n akkor és csak akkor prím, ha -n is, amelyre viszont pozitivitása miatt szóról szóra alkalmazható a fenti gondolatmenet.
∎