Fölérendelt lap:23.2. TételOsztók és a négyzetgyök

Bizonyítás

Előszöris az világos, hogy $r$ nemnegatív, hiszen az ő és az ellentettjének a négyzete megegyezik, így ha negatív lenne, akkor nem ő lenne a legnagyobb olyan egész szám, amelyre $r^2\leq |n|$ teljesül.

Másodszor $r$ biztosan nem lehet $0$ sem. Az abszolútérték-függvény 17.19. Definíciója alapján $n\neq 0$ -ból $|n|\neq 0$ , azaz végülis $1\leq |n|$ következik. Ha mármost $r=0$ lenne, akkor igaz ugyan, hogy a négyzete legfeljebb $|n|$ lenne, ám ekkor lenne nála nagyobb ugyanilyen tulajdonságú szám is – például az $1$ .

Összefoglalva $r$ -re teljesülni fog az $1\leq r$ egyenlőtlenség, ebből pedig a 15.11. Definíció 2. pontja miatt $r\leq r^2$ következik. Ezt összevetve a tétel szövegében szereplő $r^2\leq |n|$ feltétellel teljesül tehát az alábbi:

1\leq r\leq |n|

Ennyi előkészület után igazoljuk a tétel állítását. Tegyük fel, hogy $n$ prím. Ekkor a 23.1. Tétel szerint egyáltalán nincsen osztója $1$ és $|n|$ között. Következésképp az ennél szűkebb, $1$ és $r$ közötti szakaszon "méginkább" nincs osztója.

Visszafelé: Először azt az esetet igazoljuk, amikoris $n$ pozitív. Tegyük fel, hogy $n$ összetett, azaz létezik valamilyen $n=kl$ nemtriviális felbontása. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $k$ és $l$ mindketten pozitívak, máskülönben ellentettjüket véve ez az állapot elérhető. Azt kell igazolni, hogy $k$ és $l$ közül legalább az egyik nemnagyobb $r$ -nél. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, vagyis az alábbi két eset valamelyike áll fenn:

\begin{aligned}r&\lt k\leq l \\ r&\lt l\leq k\end{aligned}

Első esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát $k$ -val megszorozva az alábbit kapjuk:

k^2\leq kl=n

Ez viszont $r\lt k$ miatt lehetetlen, hiszen a tétel szövege alapján $r$ a legnagyobb olyan szám, amelynek négyzete $|n|=n$ -t nem lépi túl.

Ehhez hasonlóan a második esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát $l$ -lel megszorozva ezt kapjuk:

l^2\leq lk=n

Ez $r\lt l$ miatt az előbb ismertetett okból szintén lehetetlen. Indirekt feltételezésünk hibás volt, vagyis $k$ és $l$ közül az egyik biztosan nem lehet nagyobb $r$ -nél, ahogyan a tétel állítja.

Végezetül nézzük most azt az esetet, amikor $n$ negatív, azaz $n\lt 0$ . Ekkor egyrészt a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján $-n$ pozitív. Másrészt pedig a 16.8. Tétel 1. pontja miatt ő $n$ -nek asszociáltja, azaz pontosan ugyanazok az osztói, mint $n$ -nek. Így $n$ akkor és csak akkor prím, ha $-n$ is, amelyre viszont pozitivitása miatt szóról szóra alkalmazható a fenti gondolatmenet.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre