Bizonyítás

Biztos, hogy $a$ és $b$ közül legalább az egyik nem $0$, máskülönben a 17.1. Definíció utáni megjegyzés alapján nem létezhetne a $d$ legnagyobb közös osztó. Ebből viszont következik, hogy a feltételezett $e$ kitüntetett közös osztó biztosan nem $0$, hiszen a 16.2. Tétel 4. pontja miatt a $0$ csak saját magának osztója, és így nem lehetne közös osztója $a$-nak és $b$-nek. Így tehát $e$ az egész számok rendezésének trichotómiája miatt vagy pozitív, vagy pedig negatív.

Legyen $f=e$, ha $e$ pozitív, és $f=-e$ ha $e$ negatív. Ekkor egyrészt a 15.9. Lemma 1. pontja miatt $f$ biztosan pozitív, másrészt pedig $e$-nek asszociáltja – vagy azért, mert megegyezik vele, vagy pedig a 16.8. Tétel 1. pontja miatt. Ebből viszont a 17.5. Tétel miatt következik, hogy $f$ is kitüntetett közös osztó.

Mivel $f$ közös osztó, és $d$ a legnagyobb közös osztó, ezért egyrészt teljesül az $f\leq d$ reláció. Másrészt mivel $d$ szintén közös osztó, és $f$ kitüntetett, ezért teljesül a $d|f$ oszthatóság is. Ekkor azonban $0\lt f$ miatt alkalmazható a 17.2. Lemma, ami alapján teljesül a $d\leq f$ reláció is.

Minthogy $f\leq d$ és $d\leq f$ egyszerre teljesül, ezért a $\leq$ reláció antiszimmetriája miatt $d=f$. Azaz $d$ valóban asszociáltja a tételben szereplő $e$ kitüntetett közös osztónak, és így a 17.5. Tétel értelmében ő maga is kitüntetett közös osztó.

∎