Bizonyítás

Biztos, hogy a és b közül legalább az egyik nem 0, máskülönben a 17.1. Definíció utáni megjegyzés alapján nem létezhetne a d legnagyobb közös osztó. Ebből viszont következik, hogy a feltételezett e kitüntetett közös osztó biztosan nem 0, hiszen a 16.2. Tétel 4. pontja miatt a 0 csak saját magának osztója, és így nem lehetne közös osztója a-nak és b-nek. Így tehát e az egész számok rendezésének trichotómiája miatt vagy pozitív, vagy pedig negatív.

Legyen f=e, ha e pozitív, és f=-e ha e negatív. Ekkor egyrészt a 15.9. Lemma 1. pontja miatt f biztosan pozitív, másrészt pedig e-nek asszociáltja – vagy azért, mert megegyezik vele, vagy pedig a 16.8. Tétel 1. pontja miatt. Ebből viszont a 17.5. Tétel miatt következik, hogy f is kitüntetett közös osztó.

Mivel f közös osztó, és d a legnagyobb közös osztó, ezért egyrészt teljesül az f\leq d reláció. Másrészt mivel d szintén közös osztó, és f kitüntetett, ezért teljesül a d|f oszthatóság is. Ekkor azonban 0\lt f miatt alkalmazható a 17.2. Lemma, ami alapján teljesül a d\leq f reláció is.

Minthogy f\leq d és d\leq f egyszerre teljesül, ezért a \leq reláció antiszimmetriája miatt d=f. Azaz d valóban asszociáltja a tételben szereplő e kitüntetett közös osztónak, és így a 17.5. Tétel értelmében ő maga is kitüntetett közös osztó.

∎