Fölérendelt lap:17.9. TételA kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága

Bizonyítás

Ha $c=0$ , akkor nyilván igaz az állítás, hiszen a 17.6. Tétel 5. pontja miatt egyrészt $(a0,b0)=(0,0)=0$ , másrészt a 15.1. Tétel 1. pontja miatt $(a,b)0 = 0$ .

Ha $a=b=0$ , akkor hasonló okok miatt szintén nyilvánvalóan teljesül a tétel, hiszen egyrészt $(0c,0c)=(0,0)=0$ , másrészt $(0,0)c=0c=0$ .

Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük tehát, hogy $c\neq 0$ , valamint $a$ és $b$ közül legalább az egyik nem $0$ , és emiatt a 16.2. Tétel 4. pontja miatt $(a,b)\neq 0$ .

Mivel $(a,b)$ közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned} (a,b)&|a \\ (a,b)&|b \end{aligned}

Ekkor azonban a 17.8. Tétel miatt teljesülnek az alábbi oszthatóságok is:

\begin{aligned} (a,b)c&|ac \\ (a,b)c&|bc \end{aligned}

Ez viszont azt jelenti, hogy $(a,b)c$ közös osztója $ac$ -nek és $bc$ -nek. Mivel feltételeztük, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, ezért nyilván létezik az $(ac,bc)$ kitüntetett közös osztó is. Ez viszont – kitüntetett lévén – többszöröse bármely más közös osztónak, így $(a,b)c$ -nek is. Azt tehát már tudjuk a tételben szereplő két kifejezésről, hogy teljesül közöttük az alábbi oszthatóság:

(a,b)c|(ac,bc)

Ez viszont a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

(a,b)ck = (ac,bc)

Azt fogjuk megmutatni, hogy $k$ egység, mivel ebből a 16.10. Tétel miatt már következik az $(a,b)c\sim (ac,bc)$ asszociáltság. Vizsgáljuk hát meg a fenti egyenletet.

Ennek jobboldala $ac$ és $bc$ közös osztója, így az egyenlet baloldala is. Fennállnak tehát az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned} (a,b)ck &|ac \\ (a,b)ck &|bc \end{aligned}

Mivel a bizonyítás elején az általánosság megsértése nélkül feltehettük, hogy $c\neq 0$ , így mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet vele a 17.8. Tétel miatt. Ekkor ezt kapjuk:

\begin{aligned} (a,b)k &|a \\ (a,b)k &|b \end{aligned}

Azt kaptuk tehát, hogy $(a,b)k$ közös osztója $a$ -nak és $b$ -nek, és így osztója az ő kitüntetett közös osztójuknak. Azaz:

(a,b)k|(a,b)

Mivel a bizonyítás elején láttuk, hogy $(a,b)\neq 0$ , ezért ismét alkalmazható a 17.8. Tétel, amely szerint mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet $(a,b)$ -vel. Ekkor ezt kapjuk:

k|1

A $k$ elem tehát osztója az egységelemnek, emiatt a 16.5. Tétel értelmében valóban egység. Következésképp a 16.10. Tétel miatt $(a,b)ck=(ac,bc)$ -ből következik az $(a,b)c\sim (ac,bc)$ asszociáltság, ahogyan a tétel állítja.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre