youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Ha c=0, akkor nyilván igaz az állítás, hiszen a 17.6. Tétel 5. pontja miatt egyrészt (a0,b0)=(0,0)=0, másrészt a 15.1. Tétel 1. pontja miatt (a,b)0 = 0.

Ha a=b=0, akkor hasonló okok miatt szintén nyilvánvalóan teljesül a tétel, hiszen egyrészt (0c,0c)=(0,0)=0, másrészt (0,0)c=0c=0.

Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük tehát, hogy c\neq 0, valamint a és b közül legalább az egyik nem 0, és emiatt a 16.2. Tétel 4. pontja miatt (a,b)\neq 0.

Mivel (a,b) közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned} (a,b)&|a \\ (a,b)&|b \end{aligned}

Ekkor azonban a 17.8. Tétel miatt teljesülnek az alábbi oszthatóságok is:

\begin{aligned} (a,b)c&|ac \\ (a,b)c&|bc \end{aligned}

Ez viszont azt jelenti, hogy (a,b)c közös osztója ac-nek és bc-nek. Mivel feltételeztük, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, ezért nyilván létezik az (ac,bc) kitüntetett közös osztó is. Ez viszont – kitüntetett lévén – többszöröse bármely más közös osztónak, így (a,b)c-nek is. Azt tehát már tudjuk a tételben szereplő két kifejezésről, hogy teljesül közöttük az alábbi oszthatóság:

(a,b)c|(ac,bc)

Ez viszont a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

(a,b)ck = (ac,bc)

Azt fogjuk megmutatni, hogy k egység, mivel ebből a 16.10. Tétel miatt már következik az (a,b)c\sim (ac,bc) asszociáltság. Vizsgáljuk hát meg a fenti egyenletet.

Ennek jobboldala ac és bc közös osztója, így az egyenlet baloldala is. Fennállnak tehát az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned} (a,b)ck &|ac \\ (a,b)ck &|bc \end{aligned}

Mivel a bizonyítás elején az általánosság megsértése nélkül feltehettük, hogy c\neq 0, így mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet vele a 17.8. Tétel miatt. Ekkor ezt kapjuk:

\begin{aligned} (a,b)k &|a \\ (a,b)k &|b \end{aligned}

Azt kaptuk tehát, hogy (a,b)k közös osztója a-nak és b-nek, és így osztója az ő kitüntetett közös osztójuknak. Azaz:

(a,b)k|(a,b)

Mivel a bizonyítás elején láttuk, hogy (a,b)\neq 0, ezért ismét alkalmazható a 17.8. Tétel, amely szerint mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet (a,b)-vel. Ekkor ezt kapjuk:

k|1

A k elem tehát osztója az egységelemnek, emiatt a 16.5. Tétel értelmében valóban egység. Következésképp a 16.10. Tétel miatt (a,b)ck=(ac,bc)-ből következik az (a,b)c\sim (ac,bc) asszociáltság, ahogyan a tétel állítja.

∎