Bizonyítás
Előszöris megjegyezzük, hogy a 18.24. Következmény alapján \ker f ideál R-ben, így a bizonyítandó állításban szereplő gyűrűizomorfizmus baloldala a 18.23. Tétel szerint valóban egy gyűrű, nevezetesen az R/\ker f faktorgyűrű. Igaz továbbá, hogy a 18.16. Tétel alapján \text{im} f részgyűrű abban a gyűrűben, ahová f mutat, így a jobboldal is egy gyűrű. Az
kifejezés tehát értelmes, mert tényleg egy gyűrűizomorfizmust jelöl. Most megmutatjuk, hogy ez a gyűrűizomorfizmus valóban fennáll a két gyűrű között.
Az átláthatóság érdekében vezessük be az I=\ker f jelölést. Az R/I faktorgyűrű elemei tehát az I – mint ideál – szerinti maradékosztályok. Ezek a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan ugyanazok a maradékosztályok lesznek, mint a 18.9. Definíció által definiált f gyűrűhomomorfizmus szerinti maradékosztályok. Most megadunk egy
leképezést e faktorgyűrű és az f gyűrűhomomorfizmus képe – azaz \text{im} f – között.
Ennek a leképezésnek az alábbi képletét az R gyűrű elemeinek és az f gyűrűhomomorfizmusnak a segítségével konstruáljuk meg. A képlet azt fejezi ki, hogy minden r elem esetén a g leképezés az r-et tartalmazó maradékosztályhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a célgyűrűből – azaz \text{im} f-ből –, amelyet az f gyűrűhomomorfizmus is hozzárendel magához az r elemhez:
A 18.12. ábra mutatja a g leképezés iménti konstrukcióját.
Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely r_1 és r_2 elemek ugyanabban az I szerinti maradékosztályban vannak, akkor a 18.20. Definíció szerint az ő különbségük benne van az I ideálban. Ez viszont ugye f magja, tehát a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján ez épp azt jelenti, hogy az f szerinti képük megegyezik. Vagyis a g leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti maradékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.
Azt kell még igazolni, hogy a g leképezés bijektív, ami a 18.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy egyszerre injektív és szürjektív. Az injektivitáshoz azt kell megmutatnunk, hogy egymástól különböző maradékosztályok g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy az R gyűrű r és s elemei két egymástól különböző maradékosztályt reprezentálnak, ám e két maradékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz:
Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy:
De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy r és s mégis ugyanabban a maradékosztályban vannak. Tehát g valóban injektív.
Most igazoljuk a szürjektivitást. Ez a 18.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy célgyűrűben nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely maradékosztálynak a g leképezés szerint. Ez viszont természetesen teljesül, hiszen a célgyűrű nem más, mint \text{im} f, azaz az f gyűrűhomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő s elemhez létezik olyan x elem az R gyűrűben, amelyre
teljesül. Ez épp azt jelenti, hogy az x elem benne van az x+I maradékosztályban, amelyhez viszont a g leképezés rendeli hozzá az s elemet a célgyűrűben. A g függvény tehát valóban szürjektív.
Végül g művelettartási tulajdonságai az őt definiáló képletből már könnyen adódnak. Az alábbi levezetésben az eredeti R gyűrű műveleteit a szokásos + és \cdot, az R/I faktorgyűrű műveleteit a \oplus és \odot, végül az \text{im} f célgyűrű műveleteit a \boxplus és \boxdot szimbólumokkal jelöltük:
∎