youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Előszöris megjegyezzük, hogy a 18.17. Tétel alapján ker⁡f\ker f ideál RR-ben, így a bizonyítandó állításban szereplő gyűrűizomorfizmus baloldala a 18.23. Tétel szerint valóban egy gyűrű, nevezetesen az R/ker⁡fR/\ker f faktorgyűrű. Igaz továbbá, hogy a 18.16. Tétel alapján imf\text{im} f részgyűrű abban a gyűrűben, ahová ff mutat, így a jobboldal is egy gyűrű. Az

R/ker⁡f≃imfR/\ker f \simeq \text{im} f

kifejezés tehát értelmes, mert tényleg egy gyűrűizomorfizmust jelöl. Most megmutatjuk, hogy ez a gyűrűizomorfizmus valóban fennáll a két gyűrű között.

Az R/ker⁡fR/\ker f faktorgyűrű elemei a ker⁡f\ker f – mint ideál – szerinti maradékosztályok. Ezek a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan ugyanazok a maradékosztályok lesznek, mint a 18.9. Definíció által definiált ff gyűrűhomomorfizmus szerinti maradékosztályok. Most megadunk egy

g:R/ker⁡f→imfg:R/\ker f\to \text{im} f

leképezést e faktorgyűrű és az ff gyűrűhomomorfizmus képe – azaz imf\text{im} f – között.

Ennek a leképezésnek az alábbi képletét az RR gyűrű elemeinek és az ff gyűrűhomomorfizmusnak a segítségével konstruáljuk meg. A képlet azt fejezi ki, hogy minden rr elem esetén a gg leképezés az rr-et tartalmazó maradékosztályhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a célgyűrűből – azaz imf\text{im} f-ből –, amelyet az ff gyűrűhomomorfizmus is hozzárendel magához az rr elemhez:

g(r+ker⁡f)=f(r)g(r+\ker f)=f(r)

A 18.12. ábra mutatja a gg leképezés iménti konstrukcióját.

A faktorgyűrű elemeinek leképezése
18.12. ábra: A faktorgyűrű elemeinek leképezése

Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely r1r_1 és r2r_2 elemek ugyanabban a ker⁡f\ker f szerinti maradékosztályban vannak, akkor a 18.20. Definíció szerint az ő különbségük benne van a ker⁡f\ker f ideálban. Ez viszont ugye ff magja, tehát a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján ez épp azt jelenti, hogy az ff szerinti képük megegyezik. Vagyis a gg leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti maradékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.

Azt kell még igazolni, hogy a gg leképezés bijektív, ami a 18.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy egyszerre injektív és szürjektív. Az injektivitáshoz azt kell megmutatnunk, hogy egymástól különböző maradékosztályok gg szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy az RR gyűrű rr és ss elemei két egymástól különböző maradékosztályt reprezentálnak, ám e két maradékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a gg szerinti képe, azaz:

g(r+ker⁡f)=g(s+ker⁡f)g(r+\ker f)=g(s+\ker f)

Ez a gg leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy:

f(r)=f(s)f(r)=f(s)

De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy rr és ss mégis ugyanabban a maradékosztályban vannak. Tehát gg valóban injektív.

Most igazoljuk a szürjektivitást. Ez a 18.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy célgyűrűben nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely maradékosztálynak a gg leképezés szerint. Ez viszont természetesen teljesül, hiszen a célgyűrű nem más, mint imf\text{im} f, azaz az ff gyűrűhomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő ss elemhez létezik olyan xx elem az RR gyűrűben, amelyre

f(x)=sf(x)=s

teljesül. Ez épp azt jelenti, hogy az xx elem benne van az x+ker⁡fx+\ker f maradékosztályban, amelyhez viszont a gg leképezés rendeli hozzá az ss elemet a célgyűrűben. A gg függvény tehát valóban szürjektív.

Végül gg művelettartási tulajdonságai az őt definiáló képletből már könnyen adódnak. Az alábbi levezetésben az eredeti RR gyűrű műveleteit a szokásos ++ és ⋅\cdot, az R/ker⁡fR/\ker f faktorgyűrű műveleteit a ⊕\oplus és ⊙\odot, végül az imf\text{im} f célgyűrű műveleteit a ⊞\boxplus és ⊡\boxdot szimbólumokkal jelöltük:

g((r+ker⁡f)⊕(s+ker⁡f))=g((r+s)+ker⁡f)==f(r+s)==f(r)⊞f(s)==g(r+ker⁡f)⊞g(s+ker⁡f)g((r+ker⁡f)⊙(s+ker⁡f))=g((r⋅s)+ker⁡f)==f(r⋅s)==f(r)⊡f(s)==g(r+ker⁡f)⊡g(s+ker⁡f)\begin{aligned} g((r+\ker f)\oplus (s+\ker f))&=g((r+s)+\ker f)= \\ &=f(r+s)= \\ &=f(r)\boxplus f(s)= \\ &=g(r+\ker f)\boxplus g(s+\ker f) \\ g((r+\ker f)\odot (s+\ker f))&=g((r\cdot s)+\ker f)= \\ &=f(r\cdot s)= \\ &=f(r)\boxdot f(s)= \\ &=g(r+\ker f)\boxdot g(s+\ker f) \end{aligned}

∎