Bizonyítás
Az 1. állítás: a 14.12. Definícióban megfogalmazott 1., 2. és 3. gyűrűaxiómák épp a 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákkal egyeznek meg, így R valóban Abel-csoport a + művelettel.
A 2. állítás: a 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákat kell leellenőrznünk. Előszöris az invertálható elemeket tartalmazó R^{\times} halmaz zárt az eredeti R gyűrű \cdot műveletére nézve. Nyilván, hiszen ha a és b két tetszőleges invertálható elem – azaz benne vannak R^{\times}-ben –, akkor az ab szorzatnak is létezik inverze – azaz ő is benne van R^{\times}-ben. Ez a bizonyos inverz a 24.2. Tétel alapján így kapható meg ab-ből:
Másodszor: R^{\times}-ben nyilván létezik neutrális elem a \cdot műveletre nézve, méghozzá az eredeti R gyűrű egységeleme, amit most jelöljünk 1-gyel.
Harmadszor: minden R^{\times}-beli elemnek létezik inverze, amely nem más, mint az adott elemnek az eredeti R gyűrűben vett multiplikatív inverze. Tegyük fel ugyanis, hogy egy a\in R^{\times} elem R-beli multiplikatív inverze a^{-1}, azaz aa^{-1}=1 és a^{-1}a=1. Mivel 1 benne van R^{\times}-ben, ezért a-nak az R^{\times}-beli inverze szintén csak a^{-1} lehet, hiszen a 14.10. Tétel alapján az inverzképzés egyértelmű.
Az R^{\times} halmaz tehát valóban csoportot alkot az R gyűrű \cdot műveletével.
A 3. állítás: ha R kommutatív és egységelemes, akkor alkalmazható a 16.5. Tétel. Ez alapján R egységei pontosan az egységelem osztói, más szavakkal azok az a elemek, amelyekhez létezik olyan x elem, hogy ax=1. Ezek tehát nyilván épp az invertálható elemek.
∎