Bizonyítás

Előszöris vizsgáljuk meg az (a) és (b) főideálok szerkezetét. A 19.11. Definíció alapján az (a) főideál az a legszűkebb ideál, amely tartalmazza az a elemet. Mivel a\in (a), ezért a 18.18. Definíció szerint tetszőleges r\in R esetén szükségképpen ra\in (a) is teljesül. Azaz az (a) ideál biztosan tartalmazza az a elemen kívül annak összes többszörösét is. Egyéb elemet viszont nem tartalmaz, hiszen úgy már nem ő lenne az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Ugyanezen okok miatt a (b) főideál pedig a b elemet és annak többszöröseit tartalmazza, és ezeken kívül nincs más eleme. Ezek után már igazolhatjuk a tétel állításait.

Az 1. állítás: Egyrészt azt kell bizonyítani, hogy ha teljesül a b|a oszthatóság, akkor bármilyen c\in (a) esetén c\in (b) is teljesül, azaz (a)\sube (b). A c\in (a) a fentiek alapján azt jelenti, hogy c vagy megegyezik a-val, vagy pedig annak többszöröse. Mivel R egységelemes, ezért mindkét feltételből az következik, hogy teljesül az a|c oszthatóság. De mivel kiindulási feltételünk szerint teljesül a b|a oszthatóság, ezért a 16.2. Tétel 5. pontja alapján teljesül a b|c oszthatóság is. Ez viszont egységelemes gyűrűkben azt jelenti, hogy c megegyezik b-vel, vagy pedig egyike a többszöröseinek, azaz c\in (b). Mivel megmutattuk, hogy az (a) főideál bármely eleme egyúttal eleme a (b) főideálnak is, így a 19.2. Definíció alapján valóban (a)\sube (b).

Másrészt bizonyítani kell az ellentétes irányú következtetést is, vagyis azt, hogy ha (a)\sube (b), akkor teljesül a b|a oszthatóság. Az (a)\sube (b) tartalmazási reláció a 19.2. Definíció alapján azt jelenti, hogy az (a) főideál bármely eleme egyúttal eleme a (b) főideálnak is. Ez természetesen magára a-ra is igaz, azaz a\in (b). Így tehát a vagy megegyezik b-vel, vagy pedig egyike a b elem többszöröseinek. Mivel R egységelemes, ezért mindkét feltételből az következik, hogy teljesül a b|a oszthatóság.

A 2. állítás: Ez már könnyen adódik az 1. állításból. A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján ugyanis az (a)=(b) halmazegyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha (a) és (b) kölcsönösen egymás részhalmazai. Ez az 1. állítás miatt azzal ekvivalens, hogy egyszerre teljesülnek az a|b, valamint a b|a oszthatóságok. A 16.9. Tétel alapján azonban a kölcsönös oszthatóság kommutatív és egységelemes gyűrűkben akkor és csak akkor teljesül, ha a és b egymás asszociáltjai.

∎