Bizonyítás

Előszöris vizsgáljuk meg az $(a)$ és $(b)$ főideálok szerkezetét. A 19.11. Definíció alapján az $(a)$ főideál az a legszűkebb ideál, amely tartalmazza az $a$ elemet. Mivel $a\in (a)$, ezért a 18.18. Definíció szerint tetszőleges $r\in R$ esetén szükségképpen $ra\in (a)$ is teljesül. Azaz az $(a)$ ideál biztosan tartalmazza az $a$ elemen kívül annak összes többszörösét is. Egyéb elemet viszont nem tartalmaz, hiszen úgy már nem ő lenne az $a$ elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Ugyanezen okok miatt a $(b)$ főideál pedig a $b$ elemet és annak többszöröseit tartalmazza, és ezeken kívül nincs más eleme. Ezek után már igazolhatjuk a tétel állításait.

Az 1. állítás: Egyrészt azt kell bizonyítani, hogy ha teljesül a $b|a$ oszthatóság, akkor bármilyen $c\in (a)$ esetén $c\in (b)$ is teljesül, azaz $(a)\sube (b)$. A $c\in (a)$ a fentiek alapján azt jelenti, hogy $c$ vagy megegyezik $a$-val, vagy pedig annak többszöröse. Mivel $R$ egységelemes, ezért mindkét feltételből az következik, hogy teljesül az $a|c$ oszthatóság. De mivel kiindulási feltételünk szerint teljesül a $b|a$ oszthatóság, ezért a 16.2. Tétel 5. pontja alapján teljesül a $b|c$ oszthatóság is. Ez viszont egységelemes gyűrűkben azt jelenti, hogy $c$ megegyezik $b$-vel, vagy pedig egyike a többszöröseinek, azaz $c\in (b)$. Mivel megmutattuk, hogy az $(a)$ főideál bármely eleme egyúttal eleme a $(b)$ főideálnak is, így a 19.2. Definíció alapján valóban $(a)\sube (b)$.

Másrészt bizonyítani kell az ellentétes irányú következtetést is, vagyis azt, hogy ha $(a)\sube (b)$, akkor teljesül a $b|a$ oszthatóság. Az $(a)\sube (b)$ tartalmazási reláció a 19.2. Definíció alapján azt jelenti, hogy az $(a)$ főideál bármely eleme egyúttal eleme a $(b)$ főideálnak is. Ez természetesen magára $a$-ra is igaz, azaz $a\in (b)$. Így tehát $a$ vagy megegyezik $b$-vel, vagy pedig egyike a $b$ elem többszöröseinek. Mivel $R$ egységelemes, ezért mindkét feltételből az következik, hogy teljesül a $b|a$ oszthatóság.

A 2. állítás: Ez már könnyen adódik az 1. állításból. A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján ugyanis az $(a)=(b)$ halmazegyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $(a)$ és $(b)$ kölcsönösen egymás részhalmazai. Ez az 1. állítás miatt azzal ekvivalens, hogy egyszerre teljesülnek az $a|b$, valamint a $b|a$ oszthatóságok. A 16.9. Tétel alapján azonban a kölcsönös oszthatóság kommutatív és egységelemes gyűrűkben akkor és csak akkor teljesül, ha $a$ és $b$ egymás asszociáltjai.

∎