Bizonyítás
Legyen R egy tetszőleges euklidészi gyűrű, I pedig egy tetszőleges ideál R-ben. Azt kell megmutatnunk, hogy létezik olyan r\in R, amely generálja I-t, azaz amelyre I=(r) teljesül. Jelöljük az R euklidészi gyűrű nullelemét 0_R-rel. Ha I csak a nullelemből áll, akkor I=(0_R) nyilván teljesül. Feltehetjük tehát, hogy I nem csak a nullelemből áll.
Mivel R euklidészi gyűrű, ezért ennek nemnulla elemein értelmezhető egy f euklidészi függvény, amely eleget tesz a 17.17. Definícióban szereplő feltételeknek. Az f euklidészi függvény tehát az I ideál minden nemnulla eleméhez hozzárendel valamilyen természetes számot. A 17.15. Tétel alapján ennek a számhalmaznak mindenképpen van minimuma függetlenül attól, hogy I végtelen sok elemet tartalmaz-e vagy sem. Legyen b az I ideál egy olyan nemnulla eleme, amelyhez f épp ezt a minimumot rendeli hozzá. Azt kell megmutatni, hogy b generálja az I ideált, azaz I=(b).
Az egyrészt nyilvánvaló, hogy mivel b\in I, ezért b-nek bármilyen többszöröse is I-ben van. Ez az ideál a 18.18. Definíciójából következik. Másrészt azt kell még igazolnunk, hogy I-nek ezeken kívül nincs is más eleme. Tegyük fel tehát, hogy a\in I, és mutassuk meg, hogy a szükségképpen többszöröse b-nek. Mivel b\neq 0_R, és R euklidészi gyűrű, ezért a és b között a 17.17. Definíció 1. pontja alapján elvégezhető a maradékos osztás. Azaz létezik olyan k hányados és r maradék, hogy:
Továbbá a 17.17. Definíció 2. pontja alapján az r maradékra az alábbiak közül legalább az egyik teljesül:
Ha r=0_R, akkor a=kb, azaz ekkor a valóban többszöröse b-nek. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, azaz r\neq 0_R. Ekkor viszont a másik feltételnek kell teljesülnie, hiszen azt mondtuk, hogy legalább az egyik teljesül. Azaz:
Egyrészt, mivel I ideál, és b\in I, ezért a 18.18. Definíció miatt kb\in I. Másrészt a kiindulási feltételünk miatt a\in I, és így – mivel I egyben részgyűrű is – a 18.15. Tétel 4. és 1. pontja alapján az r=a-kb maradék is benne van I-ben.
Ez viszont ellentmondás, hiszen a b elemet úgy választottuk meg, hogy ahhoz az f euklidészi függvény a lehető legkisebb természetes számot rendelje hozzá azok közül, amelyeket egyébként az I ideál elemeihez hozzárendel. Az a és b közötti maradékos osztást elvégezve tehát a maradék csak 0_R lehet, azaz valójában teljesül a b|a oszthatóság. Az a elem tehát többszöröse b-nek, és így a\in (b) teljesül. Más szavakkal a b elem tényleg generálja az I ideált:
Minthogy ez a gondolatmenet tetszőleges ideállal végigjátszható, ezért R valóban főideálgyűrű, ahogyan a tétel állítja.
∎