youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Jelöljük tehát I-vel azt a halmazt, amely pontosan az

r_1a_1+r_2a_2+\ldots +r_na_n

alakban felírható elemeket tartalmazza. Azt kell tehát bizonyítani, hogy I a legszűkebb olyan ideál, amely tartalmazza az a_1, a_2, ..., a_n elemeket.

Kezdjük annak igazolásával, hogy I ideál. Ehhez a 18.18. Definíció alapján azt kell megmutatni, hogy I részgyűrű – amihez a 18.15. Tétel feltételeit fogjuk ellenőrizni –, valamint, hogy I tetszőleges elemét megszorozva bármelyik R-beli elemmel az eredmény benne van I-ben. Ellenőrizzük ezeket a feltételeket sorban.

Összeadásra való zártság

Legyen r és s az I halmaz két tetszőleges eleme. Mivel ők I elemei, ezért felírhatók a tételben szereplő alakban:

\begin{aligned} r &= r_1a_1+r_2a_2+\ldots +r_na_n \\ s &= s_1a_1+s_2a_2+\ldots +s_na_n \end{aligned}

Ekkor ezek összege szintén a tételben szereplő alakban írható fel a disztributivitási szabályok miatt:

r+s = (r_1+s_1)a_1+(r_2+s_2)a_2+\ldots +(r_n+s_n)a_n

Emiatt az r+s összeg szintén benne van I-ben, amely tehát valóban zárt az összeadásra nézve.

Szorzásra való zártság

Legyen s az I halmaz tetszőleges eleme. Mivel s\in I, ezért ő felírható a tételben szereplő alakban:

s = s_1a_1+s_2a_2+\ldots +s_na_n

Ezt megszorozva tetszőleges r\in R elemmel az így kapott szorzat szintén a tételben szereplő alakban írható fel a disztributivitási szabályok és a szorzás asszociativitása miatt:

\begin{aligned} rs&=r\cdot (s_1a_1+s_2a_2+\ldots +s_na_n)= \\ &=r(s_1a_1)+r(s_2a_2)+\ldots +r(s_na_n)= \\ &=(rs_1)a_1+(rs_2)a_2+\ldots +(rs_n)a_n \end{aligned}

Emiatt az rs szorzat szintén benne van I-ben. Mivel r tetszőleges R-beli elem lehet – beleértve persze az I-beli elemeket is –, ezért I nemcsak az önmagán belüli szorzásra nézve zárt, hanem a tetszőleges R-beli elemekkel való szorzásokra nézve is.

Tartalmazza a nullelemet

Ez nyilvánvaló, hiszen a nullelem felírható a tételben szereplő alakban:

0=0a_1+0a_2+\ldots +0a_n
Ellentettképzésre való zártság

Legyen r az I halmaz tetszőleges eleme. Mivel r\in I, ezért ő felírható a tételben szereplő alakban:

r=r_1a_1+r_2a_2+\ldots +r_na_n

De ekkor ennek ellentettje a 15.1. Tétel 5. és 3. pontja miatt szintén felírható ilyen alakban:

\begin{aligned} -r&=-(r_1a_1+r_2a_2+\ldots +r_na_n)= \\ &=(-(r_1a_1))+(-(r_2a_2))\ldots (-(r_na_n)) \\ &=(-r_1)a_1+(-r_2)a_2+\ldots +(-r_n)a_n= \\ \end{aligned}

Emiatt (-r) szintén benne van I-ben, amely tehát zárt az ellentettképzésre is.

Az I halmaz tehát valóban ideál, ráadásul ő tartalmazza az a_1, a_2, ..., a_n generátorelemeket. Nyilván, hiszen R egységelemes, és így az egységelemet 1-gyel jelölve mindegyikük felírható a tételben szereplő alakban:

\begin{aligned} a_1&=1a_1 + 0a_2 + 0a_3 +\ldots +0a_n \\ a_2&=0a_1 + 1a_2 + 0a_3 +\ldots +0a_n \\ a_3&=0a_1 + 0a_2 + 1a_3 +\ldots +0a_n \\ &\vdots \\ a_n&=0a_1 + 0a_2 + 0a_3 +\ldots +1a_n \end{aligned}

Azt tehát már tudjuk, hogy I egy olyan ideál, amely tartalmazza az a_1, a_2, ..., a_n generátorelemeket. Annyit kell még igazolni, hogy ő a legszűkebb ilyen ideál.

A 19.7. Definíció és az utána lévő megjegyzés értelmében ez azt jelenti, hogy ha J egy tetszőleges ideál, amely szintén tartalmazza a generátorelemeket, akkor I\sube J-nek kellene teljesülnie.

Tekintsünk tehát egy tetszőleges t\in I elemet, és mutassuk meg, hogy ekkor t\in J is teljesül. Mivel t\in I, ezért ő felírható a tételben szereplő alakban:

t=t_1a_1+t_2a_2+\ldots +t_na_n

Azt ugye tudjuk, hogy J tartalmazza az a_1, a_2, ..., a_n generátorelemeket. Tekintve, hogy J ideál, ezért a 18.18. Definíció miatt tartalmazza a t_1a_1, t_2a_2, ..., t_na_n szorzatokat is. Továbbá ideál lévén ő egyúttal részgyűrű is, ami a 18.15. Tétel 1. pontja alapján zárt az összeadásra nézve, azaz tartalmazza a

t=t_1a_1+t_2a_2+\ldots +t_na_n

összeget is, és így valóban t\in J.

∎