Bizonyítás
Ha H részcsoport, akkor nyilván teljesíti a 24.5. Tétel feltételeit, így a műveleti zártságot is.
Visszafelé: Tegyük fel, hogy H olyan nemüres részhalmaz, amely zárt a G-beli csoportműveletre nézve, legyen g tetszőleges H-beli elem, továbbá jelöljük G egységelemét e-vel. Mivel G véges csoport, ezért g-nek nem lehet végtelen sok különböző hatványa, és így az o(g) elemrend is véges. Azt tudjuk, hogy H zárt a G-beli csoportműveletre nézve, azaz tartalmazza g minden hatványát, így a g^{o(g)} hatványt is. A 24.13. Tétel 4. pontja alapján azonban g^{o(g)}=e, így tehát H valóban tartalmazza az egységelemet.
Végül szintén a műveleti zártság miatt H tartalmazza a g^{o(g)-1} hatványt is. Ez viszont épp g inverze, hiszen a 24.11. Tétel 3. pontja szerint őket összeszorozva épp az egységelemet kapjuk:
A H tehát zárt az inverzképzésre is, és így teljesülnek a 24.5. Tétel feltételei, következésképp H valóban részcsoport G-ben.
∎