youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A bizonyításhoz a 24.7. Tételben definiált baloldali mellékosztályokat fogjuk használni, de értelemszerűen ugyanígy használhatnánk a jobboldali mellékosztályokat is.

Az említett tételben láttuk, hogy az ott definiált \sim reláció egy ekvivalenciareláció, melynek ekvivalencia-osztályai a H szerinti baloldali mellékosztályok. Ezek az ekvivalenciarelációkról szóló 13.6. Tétel alapján G egy partícióját alkotják, azaz semelyik két baloldali mellékosztálynak nincs közös eleme, és úniójuk a teljes G. Ez az elrendezés látható a 24.1. ábrán.

Baloldali mellékosztályok partíciója
24.1. ábra: Baloldali mellékosztályok partíciója

Tekintsük most a G csoportnak egy tetszőleges H szerinti baloldali mellékosztályát, és válasszunk ki belőle egy tetszőleges g elemet, amelyet reprezentánselemként fogunk használni a továbbiakban. A kérdéses mellékosztály tehát a gH halmaz lesz. Most egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést fogunk létesíteni a gH mellékosztály elemei és a H részcsoport elemei között.

A 24.7. Tétel bizonyítása után megjegyzés alapján a gH mellékosztály tetszőleges x eleme esetén a g^{-1}x szorzat a H részcsoportnak egy eleme. Definiáljunk tehát egy f:gH\to H függvényt a következőképpen:

f(x)=g^{-1}x

Azt kell megmutatni, hogy f kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés gH és H között, amely az alábbi két állítást jelenti:

  1. Tetszőleges x\in gH és y\in gH esetén ha f(x)=f(y), akkor x=y. Azaz az f függvény H minden elemét legfeljebb egy gH-beli elemhez rendeli hozzá.
  2. Tetszőleges h\in H-hoz létezik olyan x\in gH, amelyre f(x)=h teljesül. Azaz az f függvény H minden elemét legalább egy gH-beli elemhez hozzárendeli.

Az 1. állítás: Ha f(x)=f(y), akkor az azt jelenti, hogy teljesül az alábbi egyenlőség:

g^{-1}x=g^{-1}y

Szorozzuk meg mindkét oldalt balról g-vel – itt e-vel jelöltük G egységelemét:

\underbrace{gg^{-1}}_{=e}\cdot x=\underbrace{gg^{-1}}_{=e}\cdot y

Ez viszont a 3. csoportaxióma értelmében épp a kívánt x=y egyenlőség.

A 2. állítás: Ehhez keresnünk kell egy olyan x\in gH elemet, amelyhez az f függvény épp a h\in H elemet rendeli hozzá. Tehát az alábbi egyenlet megoldását keressük:

\underbrace{g^{-1}x}_{=f(x)}=h

Szorozzuk meg mindkét oldalt balról g-vel – itt e-vel jelöltük a G egységelemét:

\underbrace{gg^{-1}}_{=e}\cdot x=gh

A baloldalról az egységelem a 2. csoportaxióma miatt elhagyható, így végülis a keresett x előállításának képletét kapjuk: x=gh.

Összefoglalva: A fenti f függvény mintájára kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a H részcsoport, és bármely H szerinti baloldali mellékosztály között. Néhány mellékosztály esetére ez látható a 24.2. ábrán.

Részcsoport és mellékosztályai
24.2. ábra: Részcsoport és mellékosztályai

Ez azt jelenti, hogy bármely H szerinti baloldali mellékosztálynak pontosan ugyanannyi eleme van, mint magának H-nak. Ha tehát H rendjét megszorozzuk a baloldali mellékosztályok számával, akkor – mivel ezek a baloldali mellékosztályok G egy partícióját alkotják – épp G rendjét kapjuk eredményül. A 16.1. Definíció értelmében ez azt jelenti, hogy |H| osztója |G|-nek.

∎