Fölérendelt lap:16.18. TételPrímtényezős felbontás egyértelműségének elégséges feltétele

Bizonyítás

Tekintsük ugyanis egy felbontható $x$ elem két tetszőleges felbontását:

x=p_1p_2\ldots p_n = q_1q_2\ldots q_k

Azt kell bizonyítani, hogy a kétféle felbontásban ugyanannyi felbonthatatlan tényező van, és minden baloldali tényezőnek van egy asszociált párja a jobboldali felbontásban. Kezdjük $p_1$ -gyel.

Mivel jelen esetben a tétel szövege szerint minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, ezért $p_1$ is az, amely ugye a fenti egyenlet alapján osztója a jobboldali $q_1\ldots q_k$ szorzatnak. A prímtulajdonság miatt a 16.13. Definíció utáni megjegyzés alapján ekkor osztója e szorzat legalább egy tényezőjének is. Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy ez a tényező $q_1$ . Ha mégsem ez lenne a helyzet, akkor a megfelelő módon átsorszámozzuk a jobboldali tényezőket.

Teljesül tehát a $p_1|q_1$ oszthatóság, de mivel $q_1$ felbonthatatlan, ezért ez a 16.11. Definíció alapján csak úgy teljesülhet, ha $q_1=p_1u_1$ , ahol $u_1$ valamilyen egység, $p_1$ pedig $q_1$ asszociáltja. Azaz megtaláltuk $p_1$ asszociált párját a jobboldalon.

Az egyenletünk – amelyet a nullosztómentesség miatt egyszerűsíthetünk $p_1$ -gyel – most így néz ki:

\cancel{p_1}\cdot p_2p_3 \ldots p_n = \underbrace{\cancel{p_1}u_1}_{=q_1}\cdot q_2q_3\ldots q_k

Ezután $p_2$ -vel folytatjuk ugyanezt az eljárást, majd $p_3$ -mal, és így tovább. Az előbb látott gondolatmenet alapján mindegyikhez megtaláljuk az asszociált párját a jobboldalon. Amikor az utolsó baloldali tényezővel is megtörtént az egyszerűsítés, akkor az egyenlet baloldalán az egységelem marad, a jobboldalon pedig az egyszerűsítések során előálló $n$ darab egységtényező. Kérdés, hogy ezeken az egységeken kívül marad-e még további tényező a jobboldalon? Például:

1=u_1u_2\ldots u_n\cdot \underbrace{q_{n+1}q_{n+2}\ldots q_k}_{?}

Ha ez így lenne, akkor az azt jelentené, hogy a $q_{n+1}$ , $q_{n+2}$ , ..., $q_k$ tényezők mindegyike osztója lenne az egységelemnek, tehát végsősoron ők a 16.5. Tétel alapján mind egységek lennének. Ez viszont lehetetlen, hiszen ezek a tényezők felbonthatatlanok, és így a 16.11. Definíció értelmében nem lehetnek egységek.

Ezért az egyszerűsítési eljárás során a baloldali és a jobboldali tényezők egyszerre fogynak el, és eközben mindegyik baloldali tényezőhöz megtaláljuk az ő asszociált párját a jobboldalon. Az $x$ elem két felbontása tehát sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve valóban megegyezik.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre