Bizonyítás
Jelöljük d-vel az a és b kitüntetett közös osztóját. Mivel R főideálgyűrű, ezért az (a,b) ideál is szükségképpen főideál, azaz generálható egyetlen elemmel is. Létezik tehát olyan e\in R, hogy
(a,b)=(e)
Ekkor azonban a 20.10. Tétel 2. pontja alapján e is kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek.
A kitüntetett közös osztó a 17.5. Tétel szerint asszociáltság erejéig egyértelmű, azaz e\sim d. Ez viszont a 16.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy e-nek és d-nek pontosan ugyanazok a többszöröseik, vagyis az általuk generált ideálok megegyeznek, azaz
(d)=\underbrace{(a,b)}_{=(e)}
Ebből viszont a 20.10. Tétel 2. pontja miatt következik, hogy d valóban kifejezhető
ua+vb
alakban R valamilyen alkalmas u és v elemeinek a segítségével.
∎