Bizonyítás

Jelöljük $d$-vel az $a$ és $b$ kitüntetett közös osztóját. Mivel $R$ főideálgyűrű, ezért az $(a,b)$ ideál is szükségképpen főideál, azaz generálható egyetlen elemmel is. Létezik tehát olyan $e\in R$, hogy

Ekkor azonban a 20.10. Tétel 2. pontja alapján $e$ is kitüntetett közös osztója $a$-nak és $b$-nek.

A kitüntetett közös osztó a 17.5. Tétel szerint asszociáltság erejéig egyértelmű, azaz $e\sim d$. Ez viszont a 16.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy $e$-nek és $d$-nek pontosan ugyanazok a többszöröseik, vagyis az általuk generált ideálok megegyeznek, azaz

Ebből viszont a 20.10. Tétel 2. pontja miatt következik, hogy $d$ valóban kifejezhető

alakban $R$ valamilyen alkalmas $u$ és $v$ elemeinek a segítségével.