Bizonyítás

Az a nyilván benne van az (a,b) ideálban, ami a feltétel alapján a (d) főideállal egyezik meg. Emiatt a összes többszöröse is (d)-ben van. Ezek viszont épp az (a) főideál elemei, azaz (a)\sube (d), és így a 19.12. Tétel alapján teljesül a d|a oszthatóság. Hasonló okok miatt teljesül a d|b oszthatóság is, így d közös osztója a-nak és b-nek. A 17.4. Definíció alapján azt kell még megmutatni, hogy d minden közös osztónak többszöröse.

Legyen tehát c egy tetszőleges közös osztó, azaz c|a és c|b. Ekkor a 19.12. Tétel miatt teljesülnek az (a)\sube (c) és a (b)\sube (c) tartalmazási relációk. Ez azt jelenti, hogy minden, ami az (a) vagy a (b) főideálok közül legalább az egyiknek eleme, az eleme egyúttal a (c) főideálnak is.

Ez nyilván igaz magára a-ra és b-re is, azaz a\in (c) és b\in (c). Minthogy az (a,b) ideál a 19.11. Definíció alapján a legszűkebb olyan ideál, amely tartalmazza az a és b elemeket, ezért a (c) főideál biztosan nem lehet nála szűkebb, azaz (a,b)\sube (c). A tételben szereplő (a,b)=(d) feltétel miatt tehát (d)\sube (c) teljesül, azaz a 19.12. Tétel miatt fennáll a c|d oszthatóság, és így d valóban kitüntetett közös osztó.

∎