Bizonyítás

Az $a$ nyilván benne van az $(a,b)$ ideálban, ami a feltétel alapján a $(d)$ főideállal egyezik meg. Emiatt $a$ összes többszöröse is $(d)$-ben van. Ezek viszont épp az $(a)$ főideál elemei, azaz $(a)\sube (d)$, és így a 19.12. Tétel alapján teljesül a $d|a$ oszthatóság. Hasonló okok miatt teljesül a $d|b$ oszthatóság is, így $d$ közös osztója $a$-nak és $b$-nek. A 17.4. Definíció alapján azt kell még megmutatni, hogy $d$ minden közös osztónak többszöröse.

Legyen tehát $c$ egy tetszőleges közös osztó, azaz $c|a$ és $c|b$. Ekkor a 19.12. Tétel miatt teljesülnek az $(a)\sube (c)$ és a $(b)\sube (c)$ tartalmazási relációk. Ez azt jelenti, hogy minden, ami az $(a)$ vagy a $(b)$ főideálok közül legalább az egyiknek eleme, az eleme egyúttal a $(c)$ főideálnak is.

Ez nyilván igaz magára $a$-ra és $b$-re is, azaz $a\in (c)$ és $b\in (c)$. Minthogy az $(a,b)$ ideál a 19.11. Definíció alapján a legszűkebb olyan ideál, amely tartalmazza az $a$ és $b$ elemeket, ezért a $(c)$ főideál biztosan nem lehet nála szűkebb, azaz $(a,b)\sube (c)$. A tételben szereplő $(a,b)=(d)$ feltétel miatt tehát $(d)\sube (c)$ teljesül, azaz a 19.12. Tétel miatt fennáll a $c|d$ oszthatóság, és így $d$ valóban kitüntetett közös osztó.

∎