Bizonyítás

Ha b egység, akkor a 16.5. Tétel értelmében osztója az egységelemnek. Létezik tehát olyan c elem, amelyre bc=1 teljesül. Mivel c\neq 0_R – máskülönben a 15.1. Tétel 1. pontja alapján a bc szorzat a nullelem lenne –, ezért a g euklidészi függvény monotonitási tulajdonsága miatt:

Ugyanakkor szintén a monotonitási tulajdonság miatt:

Mindkét irányban fennáll tehát a \leq reláció, így az antiszimmetria miatt szükségképpen

Visszafelé: Tegyük fel indirekt, hogy b nem egység, ám ennek ellenére

Mivel a-ról és b-ről a tétel szövege alapján tudjuk, hogy egyik sem a nullelem, ezért a nullosztómentesség miatt az ab szorzat sem lehet az. Emiatt az a elem maradékosan elosztható az ab elemmel a g euklidészi függvény szerint. Azaz létezik olyan k hányados és r maradék, hogy teljesül az alábbi egyenlet

Továbbá az alábbiak közül legalább az egyik teljesül:

Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy r\neq 0_R, és így a g-re vonatkozó egyenlőtlenség áll fenn, máskülönben a további lépésekben amúgysem nyernénk semmilyen további információt g-ről.

Az egyenlet mindkét oldalából kab-t levonva ezt kapjuk:

A baloldalt a disztributivitási szabályok miatt így írhatjuk át:

Mivel b-ről indirekt azt mondtuk, hogy nem egység, ezért a 16.5. Tétel miatt nem lehet osztója az egységelemnek. Emiatt kb\neq 1, és így 1-kb biztosan nem a nullelem. Minthogy a tétel szöveg alapján a sem a nullelem, ezért a nullosztómentesség miatt r az a-nak egy nemnulla többszöröse – egész konkrétan 1-kb-szerese –, és így a g euklidészi függvény monotonitási tulajdonsága miatt teljesül a következő egyenlőtlenség:

Ugyanakkor indirekt feltételeztük, hogy g(a)=g(ab), így a fentebbi maradékos osztásból kapott g(r)\lt g(ab) szigorú egyenlőtlenségből

következik.