Bizonyítás

Ha $b$ egység, akkor a 16.5. Tétel értelmében osztója az egységelemnek. Létezik tehát olyan $c$ elem, amelyre $bc=1$ teljesül. Mivel $c\neq 0_R$ – máskülönben a 15.1. Tétel 1. pontja alapján a $bc$ szorzat a nullelem lenne –, ezért a $g$ euklidészi függvény monotonitási tulajdonsága miatt:

Ugyanakkor szintén a monotonitási tulajdonság miatt:

Mindkét irányban fennáll tehát a $\leq$ reláció, így az antiszimmetria miatt szükségképpen

Visszafelé: Tegyük fel indirekt, hogy $b$ nem egység, ám ennek ellenére

Mivel $a$-ról és $b$-ről a tétel szövege alapján tudjuk, hogy egyik sem a nullelem, ezért a nullosztómentesség miatt az $ab$ szorzat sem lehet az. Emiatt az $a$ elem maradékosan elosztható az $ab$ elemmel a $g$ euklidészi függvény szerint. Azaz létezik olyan $k$ hányados és $r$ maradék, hogy teljesül az alábbi egyenlet

Továbbá az alábbiak közül legalább az egyik teljesül:

Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $r\neq 0_R$, és így a $g$-re vonatkozó egyenlőtlenség áll fenn, máskülönben a további lépésekben amúgysem nyernénk semmilyen további információt $g$-ről.

Az egyenlet mindkét oldalából $kab$-t levonva ezt kapjuk:

A baloldalt a disztributivitási szabályok miatt így írhatjuk át:

Mivel $b$-ről indirekt azt mondtuk, hogy nem egység, ezért a 16.5. Tétel miatt nem lehet osztója az egységelemnek. Emiatt $kb\neq 1$, és így $1-kb$ biztosan nem a nullelem. Minthogy a tétel szöveg alapján $a$ sem a nullelem, ezért a nullosztómentesség miatt $r$ az $a$-nak egy nemnulla többszöröse – egész konkrétan $1-kb$-szerese –, és így a $g$ euklidészi függvény monotonitási tulajdonsága miatt teljesül a következő egyenlőtlenség:

Ugyanakkor indirekt feltételeztük, hogy $g(a)=g(ab)$, így a fentebbi maradékos osztásból kapott $g(r)\lt g(ab)$ szigorú egyenlőtlenségből

következik.