youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A tétel szövegének megfelelően tegyük fel, hogy teljesül az a∣bca|bc oszthatóság, valamint aa és bb relatív prímek, azaz a 17.10. Definíció utáni megjegyzés miatt (a,b)∼1(a,b)\sim 1.

Mivel RR egységelemes, ezért a 16.2. Tétel 1. pontja miatt teljesül az a∣aa|a oszthatóság, és így ugyanezen tétel 7. pontja miatt az a∣aca|ac oszthatóság is. Továbbá a tétel szövegéből tudjuk, hogy a∣bca|bc, tehát az aa elem közös osztója acac-nek és bcbc-nek, így osztója ezek kitüntetett közös osztójának. Azaz:

a∣(ac,bc)a|(ac,bc)

A 17.9. Tétel miatt azonban teljesül az (ac,bc)∼(a,b)c(ac,bc)\sim (a,b)c asszociáltság, így:

a∣(a,b)ca|(a,b)c

Végül, mivel (a,b)∼1(a,b)\sim 1 – tehát (a,b)(a,b) egység –, ezért teljesül az (a,b)c∼c(a,b)c\sim c asszociáltság is, azaz valóban a∣ca|c, ahogy a tétel állítja.

∎