Fölérendelt lap:21.4. LemmaPrímhatványhoz relatív prímek

Bizonyítás

Tegyük fel ugyanis, hogy teljesül a $p|a$ oszthatóság. Ekkor – mivel a $p|p^k$ oszthatóság nyilvánvalóan teljesül – $p$ egy közös osztója lesz $a$ -nak és $p^k$ -nak. Mivel a tétel szövege szerint $p$ prím – és így a 16.13. Definíció szerint nem egység –, ezért $a$ és $p^k$ valóban nem lehetnek relatív prímek egymáshoz. Másként fogalmazva ha $a$ és $p^k$ relatív prímek egymáshoz, akkor valóban nem teljesülhet a $p|a$ oszthatóság.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy $a$ nem osztható $p$ -vel, azaz $p\nmid a$ . Azt kell igazolnunk, hogy ekkor $a$ és $p^k$ bármely közös osztója egység, mivel ez a 17.10. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy ők relatív prímek egymáshoz. Legyen tehát $d$ egy tetszőleges közös osztó, azaz $d|a$ és $d|p^k$ .

Vegyük észre, hogy ha valahogy igazolni tudnánk, hogy $d$ és $p$ relatív prímek, akkor $d|p^k$ -ból az Euklidészi lemma ismételt alkalmazásával következnének az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned} d|\overbrace{p\cdot p^{k-1}}^{=p^k} &\implies d|p^{k-1} \\ d|\overbrace{p\cdot p^{k-2}}^{=p^{k-1}} &\implies d|p^{k-2} \\ d|\overbrace{p\cdot p^{k-3}}^{=p^{k-2}} &\implies d|p^{k-3} \\ &\vdots \\ d|\overbrace{p\cdot p}^{=p^2} &\implies d|p \\ d|\overbrace{p\cdot 1}^{=p} &\implies d|1 \end{aligned}

Vagyis végsősoron $d$ és $p$ relatív prímségéből megkapnánk, hogy a tetszőlegesen választott $d$ közös osztó valóban egység. A $d$ és $p$ relatív prímségének igazolását alább részletezzük.

Miért relatív prím

d

és

p

Mivel nyilván $d|a$ – hiszen $d$ az $a$ és $p^k$ közös osztója –, ezért $p\nmid d$ , máskülönben $p|d$ -ből $d|a$ mellett a 16.2. Tétel 5. pontja miatt $p|a$ következne, amiről feltettük, hogy nem igaz. Jegyezzük meg tehát, hogy $p\nmid d$ , mert hamarosan szükségünk lesz erre.

Most vizsgáljuk meg $d$ és $p$ valamely tetszőleges $c$ közös osztóját, amiről tehát meg kell mutatnunk, hogy szükségképpen egység. Mivel $c$ közös osztó, ezért teljesülnek a $c|d$ és a $c|p$ oszthatóságok. A $c|p$ oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan $q$ egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

p=cq

Ám ekkor a 16.2. Tétel 1. pontja miatt nyilván teljesül a $p|cq$ oszthatóság, és így $p$ prímtulajdonsága miatt teljesül az alábbi oszthatóságok közül legalább az egyik:

\begin{aligned} p&|c \\ p&|q \end{aligned}

Igenám, de $p|c$ nem teljesülhet, mivel ekkor $c|d$ mellett a 16.2. Tétel 5. pontja miatt $p|d$ következne, amiről már igazoltuk, hogy lehetetlen. Így tehát szükségképpen teljesül $p|q$ , ami a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan $r$ egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

q=pr

A $q$ -ra kapott kifejezést behelyettesítve az első egyenletbe ezt kapjuk:

p=c\underbrace{pr}_{=q}

Minthogy $p$ prím, ezért nem $0$ , és így a 15.4. Tétel alapján lehet egyszerűsíteni vele:

1=cr

Ez a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy $c|1$ , tehát $c$ a 16.5. Tétel szerint valóban egység.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre