Fölérendelt lap:17.2. LemmaOszthatóság és rendezési reláció kapcsolata

Bizonyítás

Az biztos, hogy $a\neq 0$ , hiszen máskülönben $b=0$ lenne a 16.2. Tétel 4. pontja miatt. A rendezési reláció trichotómiájából, valamint $a\neq 0$ -ból következően $a\lt 0$ vagy $a\gt 0$ közül pontosan az egyik teljesül. Az $a\lt 0$ esettel nem kell különösebben foglalkoznunk, hiszen ekkor $0\lt b$ miatt nyilván következik $a\leq b$ a rendezési reláció tranzitivitása miatt.

Nézzük tehát a $0\lt a$ esetet. A 16.1. Definíció alapján a $a|b$ oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

ak = b

A 13.11. Definíció szerinti pozitív és negatív egész számok, valamint a $0$ a 13.10. Tétel értelmében lefedik a teljes $\Z$ halmazt. Emiatt az egészek szorzásának 14.3. Definíciója alapján egy szorzat előjele az alábbiak szerint alakulhat a tényezők előjelének függvényében:

\begin{aligned} +\cdot + &= + \\ +\cdot - &= - \\ -\cdot + &= - \\ -\cdot - &= + \end{aligned}

Mivel a fenti egyenletben $a$ is és $b$ is pozitív, ezért szükségképpen $k$ is pozitív kell legyen, azaz $0\lt k$ . Továbbá az egyenlet a disztributivitási szabályok miatt átalakítható a következőképpen:

ak=a(1+k-1)=a+a(k-1)=b

Itt az $a(k-1)$ szorzatról elmondhatjuk, hogy pozitív, vagy pedig $0$ , hiszen $a$ ugye pozitív, $k-1$ pedig pozitív vagy $0$ . Létezik tehát olyan nemnegatív egész szám, amelyet $a$ -hoz adva $b$ -t kapunk, nevezetesen az $a(k-1)$ . Ez viszont a 15.18. Tételben szereplő $\leq$ reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy $a\leq b$ .

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre