Bizonyítás
Az biztos, hogy a\neq 0, hiszen máskülönben b=0 lenne a 16.2. Tétel 4. pontja miatt. A rendezési reláció trichotómiájából, valamint a\neq 0-ból következően a\lt 0 vagy a\gt 0 közül pontosan az egyik teljesül. Az a\lt 0 esettel nem kell különösebben foglalkoznunk, hiszen ekkor 0\lt b miatt nyilván következik a\leq b a rendezési reláció tranzitivitása miatt.
Nézzük tehát a 0\lt a esetet. A 16.1. Definíció alapján a a|b oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan k egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:
A 13.11. Definíció szerinti pozitív és negatív egész számok, valamint a 0 a 13.10. Tétel értelmében lefedik a teljes \Z halmazt. Emiatt az egészek szorzásának 14.3. Definíciója alapján egy szorzat előjele az alábbiak szerint alakulhat a tényezők előjelének függvényében:
Mivel a fenti egyenletben a is és b is pozitív, ezért szükségképpen k is pozitív kell legyen, azaz 0\lt k. Továbbá az egyenlet a disztributivitási szabályok miatt átalakítható a következőképpen:
Itt az a(k-1) szorzatról elmondhatjuk, hogy pozitív, vagy pedig 0, hiszen a ugye pozitív, k-1 pedig pozitív vagy 0. Létezik tehát olyan nemnegatív egész szám, amelyet a-hoz adva b-t kapunk, nevezetesen az a(k-1). Ez viszont a 15.18. Tételben szereplő \leq reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy a\leq b.
∎