Bizonyítás

A $p=ab$ felbontásból és az oszthatóság 16.1. Definíciójából egyrészt következik, hogy teljesülnek az $a|p$ és $b|p$ oszthatóságok. Másrészt – mivel $R$ egységelemes gyűrű – a 16.2. Tétel 1. pontja miatt minden elem osztója önmagának. Így $p=ab$-ből következik, hogy teljesül a $p|ab$ oszthatóság is. Ám $p$ prímtulajdonsága miatt ekkor a $p|a$ és $p|b$ oszthatóságok közül legalább az egyik szintén teljesül.

Tegyük fel, hogy $p|a$ teljesül. A bizonyítás elején ugyanakkor megállapítottuk, hogy $a|p$ is teljesül. A 16.9. Tétel alapján az egymással való kölcsönös oszthatóságból következik, hogy $a\sim p$. Ha $p|a$ mégsem teljesül, akkor $p$ prímtulajdonsága miatt $p|b$ biztosan teljesül. Ebben az esetben az előbbi gondolatmenetet szinte szóról szóra megismételve azt fogjuk kapni, hogy $b\sim p$.

Igaz tehát, hogy bármely $p$ prímnek bármilyen felbontásában az egyik tényező $p$ asszociáltja, azaz valóban minden prímtulajdonságú elem felbonthatatlan.

∎