Bizonyítás
Legyen p tetszőleges prímtulajdonságú elem, és tekintsük ennek valamilyen felbontását:
A 16.11. Definíció alapján azt kell bizonyítani, hogy ez egy triviális felbontás, ami a 16.12. Tétel utáni megjegyzés alapján ekvivalens azzal, hogy a és b közül az egyik p asszociáltja.
A p=ab felbontásból és az oszthatóság 16.1. Definíciójából egyrészt következik, hogy teljesülnek az a|p és b|p oszthatóságok. Másrészt – mivel R egységelemes gyűrű – a 16.2. Tétel 1. pontja miatt minden elem osztója önmagának. Így p=ab-ből következik, hogy teljesül a p|ab oszthatóság is. Ám p prímtulajdonsága miatt ekkor a p|a és p|b oszthatóságok közül legalább az egyik szintén teljesül.
Tegyük fel, hogy p|a teljesül. A bizonyítás elején ugyanakkor megállapítottuk, hogy a|p is teljesül. A 16.9. Tétel alapján az egymással való kölcsönös oszthatóságból következik, hogy a\sim p. Ha p|a mégsem teljesül, akkor p prímtulajdonsága miatt p|b biztosan teljesül. Ebben az esetben az előbbi gondolatmenetet szinte szóról szóra megismételve azt fogjuk kapni, hogy b\sim p.
Igaz tehát, hogy bármely p prímnek bármilyen felbontásában az egyik tényező p asszociáltja, azaz valóban minden prímtulajdonságú elem felbonthatatlan.
∎