youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Amennyiben a relatív prím a p modulushoz, akkor alkalmazható az Euler-Fermat tétel, amely szerint ugye teljesül az alábbi kongruencia:

a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p

A 21.5. Tétel alapján az Euler-féle \varphi-függvény értéke ebben az esetben p-1. Ebből a tétel első állítása adódik:

a^{p-1}\equiv 1\pmod p

Ám ebben az esetben a 20.2. Tétel 5. pontja szerint a kongruencia mindkét oldalát megszorozhatjuk a-val. Így teljesül az alábbi kongruencia is, amely tehát a tétel második állítása azokra az esetekre, amikoris a relatív prím p-hez:

a^p\equiv a\pmod p

Már csak annyit kell megmutatni, hogy ez a második állítás abban az esetben is teljesül, ha a és p nem relatív prímek. A 21.4. Lemma alapján ebben az esetben teljesül a p|a oszthatóság. Ez viszont a 20.1. Tétel 3. pontja alapján épp az alábbi kongruenciát jelenti:

a\equiv 0\pmod p

Ám ekkor a 20.2. Tétel 6. pontja alapján a kongruencia mindkét oldalát p-edik hatványra emelhetjük. Így teljesül az alábbi kongruencia is:

a^p\equiv 0\pmod p

Mivel tehát a is és a^p is 0-val kongruens modulo p, ezért a 20.2. Tétel 3. pontja alapján ők egymással is kongruensek modulo p, épp ahogyan a tétel állítja:

a^p\equiv a\pmod p

∎