youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Először azt bizonyítjuk, hogy aa bármelyik egységszerese aa asszociáltja. Legyen uu egy tetszőleges egység, bb pedig legyen az aa elem uu-szorosa, azaz a⋅u=ba\cdot u=b. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor a∼ba\sim b.

Az a⋅u=ba\cdot u=b egyrészt a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy teljesül az a∣ba|b oszthatóság. Másrészt, mivel uu egység, ezért a 16.5. Tétel alapján ő osztója az egységelemnek, azaz teljesül az u∣1u|1 oszthatóság is. Ez szintén a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy létezik olyan vv elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

u⋅v=1u\cdot v=1

Ha ezzel a vv elemmel megszorozzuk a bb elemet, ezt kapjuk:

b⋅v=a⋅u⏟=b⋅vb\cdot v=\underbrace{a\cdot u}_{=b}\cdot v

Mivel azonban uu és vv szorzata épp az egységelemet adja, ezért végülis:

b⋅v=a⋅u⋅v⏟=1=ab\cdot v=a\cdot \underbrace{u\cdot v}_{=1}=a

Ez a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy – az a∣ba|b oszthatóságon kívül – teljesül a b∣ab|a oszthatóság is. Ebből viszont a 16.9. Tétel miatt következik, hogy a∼ba\sim b.

Most az ellenkező irányú implikációt is bizonyítjuk, ehhez azonban már fel kell használnunk a nullosztómentességet is. Tegyük hát fel, hogy valamely aa és bb elemek esetén teljesül az a∼ba\sim b asszociáltság. Azt fogjuk megmutatni, hogy ekkor az aa és bb elemek egymás egységszeresei. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a≠0a\neq 0, hiszen ha a=0a=0, akkor a 16.8. Tétel 3. pontja miatt szükségképpen b=0b=0, és ezek nyilván egymás egységszeresei. Így a továbbiakban feltesszük, hogy a≠0a\neq 0.

Mivel a∼ba\sim b teljesül, és RR egységelemes, ezért alkalmazható a 16.9. Tétel, és így teljesülnek az a∣ba|b és a b∣ab|a oszthatóságok. Ez a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy léteznek olyan k1k_1 és k2k_2 elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

a⋅k1=bb⋅k2=a\begin{aligned}a\cdot k_1&=b \\ b\cdot k_2&=a\end{aligned}

A második egyenletbe bb helyére az elsőt behelyettesítve, valamint a jobboldal szereplő aa-t az egységelemmel megszorozva ezt kapjuk:

a⋅k1⏟=b⋅k2=a⋅1\underbrace{a\cdot k_1}_{=b}\cdot k_2=a\cdot 1

Mivel a gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.4. Tétel alapján mindkét oldalt egyszerűsíthetjük aa-val – amiről ugye az általánosság megsértése nélkül feltettük, hogy nem 00:

k1⋅k2=1k_1\cdot k_2=1

A k1k_1 és a k2k_2 tehát mindketten osztói az egységelemnek, és így a 16.5. Tétel értelmében mindketten egységek. Vagyis az aa és bb elemek valóban egymás egységszeresei.

∎