youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Először azt bizonyítjuk, hogy a bármelyik egységszerese a asszociáltja. Legyen u egy tetszőleges egység, b pedig legyen az a elem u-szorosa, azaz a\cdot u=b. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor a\sim b.

Az a\cdot u=b egyrészt a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy teljesül az a|b oszthatóság. Másrészt, mivel u egység, ezért a 16.5. Tétel alapján ő osztója az egységelemnek, azaz teljesül az u|1 oszthatóság is. Ez szintén a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy létezik olyan v elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

u\cdot v=1

Ha ezzel a v elemmel megszorozzuk a b elemet, ezt kapjuk:

b\cdot v=\underbrace{a\cdot u}_{=b}\cdot v

Mivel azonban u és v szorzata épp az egységelemet adja, ezért végülis:

b\cdot v=a\cdot \underbrace{u\cdot v}_{=1}=a

Ez a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy – az a|b oszthatóságon kívül – teljesül a b|a oszthatóság is. Ebből viszont a 16.9. Tétel miatt következik, hogy a\sim b.

Most az ellenkező irányú implikációt is bizonyítjuk, ehhez azonban már fel kell használnunk a nullosztómentességet is. Tegyük hát fel, hogy valamely a és b elemek esetén teljesül az a\sim b asszociáltság. Azt fogjuk megmutatni, hogy ekkor az a és b elemek egymás egységszeresei. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a\neq 0, hiszen ha a=0, akkor a 16.8. Tétel 3. pontja miatt szükségképpen b=0, és ezek nyilván egymás egységszeresei. Így a továbbiakban feltesszük, hogy a\neq 0.

Mivel a\sim b teljesül, és R egységelemes, ezért alkalmazható a 16.9. Tétel, és így teljesülnek az a|b és a b|a oszthatóságok. Ez a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy léteznek olyan k_1 és k_2 elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned}a\cdot k_1&=b \\ b\cdot k_2&=a\end{aligned}

A második egyenletbe b helyére az elsőt behelyettesítve, valamint a jobboldal szereplő a-t az egységelemmel megszorozva ezt kapjuk:

\underbrace{a\cdot k_1}_{=b}\cdot k_2=a\cdot 1

Mivel a gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.4. Tétel alapján mindkét oldalt egyszerűsíthetjük a-val – amiről ugye az általánosság megsértése nélkül feltettük, hogy nem 0:

k_1\cdot k_2=1

A k_1 és a k_2 tehát mindketten osztói az egységelemnek, és így a 16.5. Tétel értelmében mindketten egységek. Vagyis az a és b elemek valóban egymás egységszeresei.

∎