youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

A tételben szereplő tulajdonságokat egyenként látjuk be. Mivel R kommutatív, ezért a bizonyításban szereplő szorzásokat elegendő csak az egyik irányból vizsgálni.

1. tulajdonság

Az egységelem a szorzás neutrális eleme. Ezzel tehát a 14.7. Definíció alapján bármilyen a elemet megszorozva az eredmény marad a. Ez épp azt jelenti, hogy a|a.

2. tulajdonság

Az, hogy fennáll az a|a oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan x elem, amelyre teljesül az a\cdot x=a egyenlet. Az egyenlet mindkét oldalát bármely r elemmel megszorozva ezt kapjuk:

a\cdot x\cdot r=a\cdot r

Mivel azonban R nullosztómentes, ezért a 15.4. Tétel miatt mindkét oldalt lehet egyszerűsíteni a-val. Így ezt kapjuk:

x\cdot r=r

Az x elemre tehát igaz lesz, hogy őt bármilyen r elemmel megszorozva r-et kapunk eredményül. Más szavakkal x a gyűrű egységeleme.

3. tulajdonság

A 15.1. Tétel 1. pontja alapján bármely a elemet a nullelemmel szorozva a nullelemet kapjuk eredményül. Ez épp azt jelenti, hogy a|0.

4. tulajdonság

Mivel az imént bizonyított 3. tulajdonság alapján minden elem osztója a nullelemnek, így nyilván maga a nullelem is. Ha tehát a=0, akkor fennáll a 0|a oszthatóság.

Visszafelé: ha fennáll a 0|a oszthatóság, akkor ez azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre 0k=a teljesül. Ebből viszont a 15.1. Tétel 1. pontja miatt a=0 következik.

5. tulajdonság

Az, hogy fennállnak az a|b és a b|c oszthatóságok azt jelenti, hogy léteznek olyan k_1 és k_2 elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned} a\cdot k_1&=b \\ b\cdot k_2&=c \end{aligned}

A második egyenletbe b helyére behelyettesítve az első egyenlet baloldalát ezt kapjuk:

\underbrace{(a\cdot k_1)}_{=b}\cdot k_2=c

Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető:

a\cdot (k_1\cdot k_2)=c

Létezik tehát olyan elem, amellyel a-t megszorozva c-t kapunk: nevezetesen a k_1\cdot k_2. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a|c.

6. tulajdonság

Az, hogy fennállnak az a|b és az a|c oszthatóságok azt jelenti, hogy léteznek olyan k_1 és k_2 elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned} a\cdot k_1&=b \\ a\cdot k_2&=c \end{aligned}

Ezt a két egyenletet egymással összeadva, illetve az elsőből a másodikat kivonva a következőket kapjuk:

\begin{aligned} ak_1+ak_2&=b+c \\ ak_1-ak_2&=b-c \end{aligned}

Mivel azonban a 14.12. Definíció 5. pontja alapján teljesülnek a disztributivitási szabályok, ezért ennek a két egyenletnek a baloldalai átírhatók az alábbi módon:

\begin{aligned} a\cdot (k_1+k_2)&=b+c \\ a\cdot (k_1-k_2)&=b-c \end{aligned}

Eszerint tehát léteznek olyan elemek, amelyekkel a-t megszorozva b+c-t illetve b-c-t kapunk: nevezetesen a k_1+k_2 illetve a k_1-k_2. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a|b+c illetve a|b-c.

7. tulajdonság

Az, hogy fennáll az a|b oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

a\cdot k = b

Az egyenlet mindkét oldalát a c elemmel megszorozva ezt kapjuk:

(a\cdot k)\cdot c = b\cdot c

Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető:

a\cdot (k\cdot c) = b\cdot c

Létezik tehát olyan elem, amellyel a-t megszorozva bc-t kapunk: nevezetesen a kc. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a|bc.

8. tulajdonság

Az, hogy fennáll az a|b oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

a\cdot k = b

Viszont a 15.1. Tétel 2., 3. és 4. pontjai miatt ekkor az alábbi egyenletek is teljesülnek:

\begin{aligned} a\cdot(-k)&=(-b) \\ (-a)\cdot k&=(-b) \\ (-a)\cdot (-k)&=-(-b)=b \end{aligned}

Ez viszont épp azt jelenti, hogy fennállnak az a|(-b), (-a)|(-b) és (-a)|b oszthatóságok.

∎