Fölérendelt lap:16.2. TételAz oszthatóság alapvető tulajdonságai

Bizonyítás

A tételben szereplő tulajdonságokat egyenként látjuk be. Mivel $R$ kommutatív, ezért a bizonyításban szereplő szorzásokat elegendő csak az egyik irányból vizsgálni.

1. tulajdonság

Az egységelem a szorzás neutrális eleme. Ezzel tehát a 14.7. Definíció alapján bármilyen $a$ elemet megszorozva az eredmény marad $a$ . Ez épp azt jelenti, hogy $a|a$ .

2. tulajdonság

Az, hogy fennáll az $a|a$ oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan $x$ elem, amelyre teljesül az $a\cdot x=a$ egyenlet. Az egyenlet mindkét oldalát bármely $r$ elemmel megszorozva ezt kapjuk:

a\cdot x\cdot r=a\cdot r

Mivel azonban $R$ nullosztómentes, ezért a 15.4. Tétel miatt mindkét oldalt lehet egyszerűsíteni $a$ -val. Így ezt kapjuk:

x\cdot r=r

Az $x$ elemre tehát igaz lesz, hogy őt bármilyen $r$ elemmel megszorozva $r$ -et kapunk eredményül. Más szavakkal $x$ a gyűrű egységeleme.

3. tulajdonság

A 15.1. Tétel 1. pontja alapján bármely $a$ elemet a nullelemmel szorozva a nullelemet kapjuk eredményül. Ez épp azt jelenti, hogy $a|0$ .

4. tulajdonság

Mivel az imént bizonyított 3. tulajdonság alapján minden elem osztója a nullelemnek, így nyilván maga a nullelem is. Ha tehát $a=0$ , akkor fennáll a $0|a$ oszthatóság.

Visszafelé: ha fennáll a $0|a$ oszthatóság, akkor ez azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ elem, amelyre $0k=a$ teljesül. Ebből viszont a 15.1. Tétel 1. pontja miatt $a=0$ következik.

5. tulajdonság

Az, hogy fennállnak az $a|b$ és a $b|c$ oszthatóságok azt jelenti, hogy léteznek olyan $k_1$ és $k_2$ elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned} a\cdot k_1&=b \\ b\cdot k_2&=c \end{aligned}

A második egyenletbe $b$ helyére behelyettesítve az első egyenlet baloldalát ezt kapjuk:

\underbrace{(a\cdot k_1)}_{=b}\cdot k_2=c

Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető:

a\cdot (k_1\cdot k_2)=c

Létezik tehát olyan elem, amellyel $a$ -t megszorozva $c$ -t kapunk: nevezetesen a $k_1\cdot k_2$ . Ez viszont épp azt jelenti, hogy $a|c$ .

6. tulajdonság

Az, hogy fennállnak az $a|b$ és az $a|c$ oszthatóságok azt jelenti, hogy léteznek olyan $k_1$ és $k_2$ elemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned} a\cdot k_1&=b \\ a\cdot k_2&=c \end{aligned}

Ezt a két egyenletet egymással összeadva, illetve az elsőből a másodikat kivonva a következőket kapjuk:

\begin{aligned} ak_1+ak_2&=b+c \\ ak_1-ak_2&=b-c \end{aligned}

Mivel azonban a 14.12. Definíció 5. pontja alapján teljesülnek a disztributivitási szabályok, ezért ennek a két egyenletnek a baloldalai átírhatók az alábbi módon:

\begin{aligned} a\cdot (k_1+k_2)&=b+c \\ a\cdot (k_1-k_2)&=b-c \end{aligned}

Eszerint tehát léteznek olyan elemek, amelyekkel $a$ -t megszorozva $b+c$ -t illetve $b-c$ -t kapunk: nevezetesen a $k_1+k_2$ illetve a $k_1-k_2$ . Ez viszont épp azt jelenti, hogy $a|b+c$ illetve $a|b-c$ .

7. tulajdonság

Az, hogy fennáll az $a|b$ oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

a\cdot k = b

Az egyenlet mindkét oldalát a $c$ elemmel megszorozva ezt kapjuk:

(a\cdot k)\cdot c = b\cdot c

Mivel azonban a 14.12. Definíció 4. pontja alapján a szorzás asszociatív, ezért ennek az egyenletnek a baloldala átzárójelezhető:

a\cdot (k\cdot c) = b\cdot c

Létezik tehát olyan elem, amellyel $a$ -t megszorozva $bc$ -t kapunk: nevezetesen a $kc$ . Ez viszont épp azt jelenti, hogy $a|bc$ .

8. tulajdonság

Az, hogy fennáll az $a|b$ oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan $k$ elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

a\cdot k = b

Viszont a 15.1. Tétel 2., 3. és 4. pontjai miatt ekkor az alábbi egyenletek is teljesülnek:

\begin{aligned} a\cdot(-k)&=(-b) \\ (-a)\cdot k&=(-b) \\ (-a)\cdot (-k)&=-(-b)=b \end{aligned}

Ez viszont épp azt jelenti, hogy fennállnak az $a|(-b)$ , $(-a)|(-b)$ és $(-a)|b$ oszthatóságok.

∎

Iratkozz fel a hírlevelünkre