Bizonyítás

1. tulajdonság: Az $a$ és $b$ közös osztóinak halmaza nyilván nem változik, ha a pozíciójukat felcseréljük az $(a,b)$ kifejezésben, így a kitüntetett közös osztók halmaza sem.

2. tulajdonság: Tegyük fel, hogy $a|b$. Mivel $a|a$ is teljesül a 16.2. Tétel 1. pontja miatt, így $a$ közös osztó. Továbbá ha tekintünk egy tetszőleges $c$ közös osztót, akkor nyilván teljesül a $c|a$ oszthatóság, és így $a$ kitüntetett közös osztó. Visszafelé: $(a,b)\sim a$ azt jelenti, hogy $a$ kitüntetett közös osztó, és így közös osztó, azaz teljesül az $a|b$ oszthatóság.

3. tulajdonság: Tekintve, hogy a 16.2. Tétel 1. pontja alapján minden elem osztója önmagának – beleértve $a$-t is –, így ez a 2. tulajdonság speciális esete, amikoris $b=a$.

4. tulajdonság: Tekintve, hogy a 16.2. Tétel 3. pontja alapján minden elem osztója a nullelemnek – beleértve $a$-t is –, így ez a 2. tulajdonság speciális esete, amikoris $b=0$.

5. tulajdonság: Ez a 4. tulajdonság speciális esete, amikoris $a=0$. A $\sim$ szimbólum helyetti egyenlőségjel azért indokolt, mivel a 16.8. Tétel 3. pontja alapján a $0$ csak önnmagának asszociáltja.

∎