Bizonyítás

1. tulajdonság: Az a és b közös osztóinak halmaza nyilván nem változik, ha a pozíciójukat felcseréljük az (a,b) kifejezésben, így a kitüntetett közös osztók halmaza sem.

2. tulajdonság: Tegyük fel, hogy a|b. Mivel a|a is teljesül a 16.2. Tétel 1. pontja miatt, így a közös osztó. Továbbá ha tekintünk egy tetszőleges c közös osztót, akkor nyilván teljesül a c|a oszthatóság, és így a kitüntetett közös osztó. Visszafelé: (a,b)\sim a azt jelenti, hogy a kitüntetett közös osztó, és így közös osztó, azaz teljesül az a|b oszthatóság.

3. tulajdonság: Tekintve, hogy a 16.2. Tétel 1. pontja alapján minden elem osztója önmagának – beleértve a-t is –, így ez a 2. tulajdonság speciális esete, amikoris b=a.

4. tulajdonság: Tekintve, hogy a 16.2. Tétel 3. pontja alapján minden elem osztója a nullelemnek – beleértve a-t is –, így ez a 2. tulajdonság speciális esete, amikoris b=0.

5. tulajdonság: Ez a 4. tulajdonság speciális esete, amikoris a=0. A \sim szimbólum helyetti egyenlőségjel azért indokolt, mivel a 16.8. Tétel 3. pontja alapján a 0 csak önnmagának asszociáltja.

∎