youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Legyen pp egy tetszőleges felbonthatatlan elem RR-ben. Azt kell megmutatni, hogy prímtulajdonságú, azaz hogy ha valamilyen aa és bb elemek esetén teljesül a p∣abp|ab oszthatóság, de p∤ap\nmid a, akkor szükségképpen teljesül a p∣bp|b oszthatóság is.

Tegyük hát fel, hogy p∤ap\nmid a. Mivel azt mondtuk, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója RR-ben, ezért nyilván pp-nek is és aa-nak is létezik a (p,a)(p,a) kitüntetett közös osztója. Mivel (p,a)(p,a) közös osztó, ezért nyilván teljesül a (p,a)∣p(p,a)|p oszthatóság. De mivel pp felbonthatatlan, ezért a 16.11. Definíció miatt az alábbi két eset lehetséges:

(p,a)∼p(p,a)∼1\begin{aligned} (p,a)&\sim p \\ (p,a)&\sim 1 \end{aligned}

Azaz (p,a)(p,a) vagy egység, vagy pedig pp valamely asszociáltja. Ez utóbbi azonban lehetetlen, hiszen ekkor – lévén, hogy (p,a)(p,a) közös osztó – teljesülne a (p,a)∣a(p,a)|a oszthatóság, és így (p,a)∼p(p,a)\sim p miatt teljesülne a p∣ap|a oszthatóság is, ami ellentmond a feltételezésünknek, miszerint p∤ap\nmid a.

Azt kaptuk tehát, hogy (p,a)(p,a) csak egység lehet, azaz pp és aa relatív prímek. Ha tehát teljesül a p∣abp|ab oszthatóság, akkor ebből a 17.11. Tétel miatt következik a p∣bp|b oszthatóság is. Azaz pp valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.

∎