Bizonyítás
Legyen p egy tetszőleges felbonthatatlan elem R-ben. Azt kell megmutatni, hogy prímtulajdonságú, azaz hogy ha valamilyen a és b elemek esetén teljesül a p|ab oszthatóság, de p\nmid a, akkor szükségképpen teljesül a p|b oszthatóság is.
Tegyük hát fel, hogy p\nmid a. Mivel azt mondtuk, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója R-ben, ezért nyilván p-nek is és a-nak is létezik a (p,a) kitüntetett közös osztója. Mivel (p,a) közös osztó, ezért nyilván teljesül a (p,a)|p oszthatóság. De mivel p felbonthatatlan, ezért a 16.11. Definíció miatt az alábbi két eset lehetséges:
Azaz (p,a) vagy egység, vagy pedig p valamely asszociáltja. Ez utóbbi azonban lehetetlen, hiszen ekkor – lévén, hogy (p,a) közös osztó – teljesülne a (p,a)|a oszthatóság, és így (p,a)\sim p miatt teljesülne a p|a oszthatóság is, ami ellentmond a feltételezésünknek, miszerint p\nmid a.
Azt kaptuk tehát, hogy (p,a) csak egység lehet, azaz p és a relatív prímek. Ha tehát teljesül a p|ab oszthatóság, akkor ebből a 17.11. Tétel miatt következik a p|b oszthatóság is. Azaz p valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.
∎