Bizonyítás
Az 1. tulajdonság: Ez nyilvánvalóan következik az üres halmaz és az univerzális halmaz definíciójából. Az üres halmaznak ugyanis nincs egyetlen eleme sem, így a vele végzett únióképzés nem ad hozzá elemeket semmilyen halmazhoz. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaznak minden objektum az eleme, így a vele végzett metszetképzés nem vesz el elemeket semmilyen halmazból.
A 2. tulajdonság: Ez is teljesen nyilvánvalóan adódik az únió- és a metszetképzés definíciójából.
A 3. tulajdonság: Ha a\in A vagy a\in B közül legalább az egyik teljesül, akkor ez nyilván nem változik a két feltétel megcserélésével sem. Így tehát az A\cup B halmaz pontosan meg fog egyezni a B\cup A halmazzal. Ugyanez a gondolatmenet a metszetképzéssel is végigjátszható.
A 4. tulajdonság Az únióképzésre vonatkozó asszociativitás mindkét oldalán az a halmaz szerepel, amelynek minden a eleme esetén a\in A, a\in B vagy a\in C közül legalább az egyik teljesül, hiszen teljesen mindegy, hogy ezt a három feltételt milyen sorrendben ellenőrizzük le. A metszetképzés vonatkozó asszociativitásra ugyanez a gondolatmenet végigjátszható.
Az 5. tulajdonság: Csak az első disztributivitási szabályt fogjuk igazolni, a másik nagyon hasonló gondolatmenettel igazolható. A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt kell megmutatnunk, hogy a kifejezés két oldalán lévő halmazok kölcsönösen részhalmazai egymásnak. E két tartalmazási reláció igazolásának technikai részleteit az alábbiakban ismertetjük.
A\cup (B\cap C) \sube (A\cup B)\cap (A\cup C)
Tegyük fel, hogy egy x objektum benne van a baloldali, azaz az A\cup (B\cap C) únióhalmazban. Itt az únió miatt két eset lehetséges. Első esetben x\in A, és ekkor nyilván x\in A\cup B és x\in A\cup C is teljesül, tehát x\in (A\cup B)\cap (A\cup C) is. Második esetben x\notin A, de ekkor viszont az únió miatt x\in B\cap C, tehát x\in B és x\in C egyszerre teljesül. Ilyenkor megintcsak teljesülnek az x\in A\cup B és x\in A\cup C relációk, azaz x\in (A\cup B)\cap (A\cup C) is. Mindkét esetben azt kaptuk, hogyha x eleme a baloldali halmaznak, akkor eleme a jobboldalinak is, tehát a baloldali halmaz valóban részhalmaza a jobboldali halmaznak.
A\cup (B\cap C) \supe (A\cup B)\cap (A\cup C)
Most tegyük fel, hogy x benne van a jobboldali, azaz az (A\cup B)\cap (A\cup C) metszethalmazban. Itt a metszet miatt tehát x\in A\cup B és x\in A\cup C is teljesül. Ez két ok miatt teljesülhet. Egyrészt, ha x\in A, akkor jók vagyunk, mert ekkor x benne van minkét únióban, és így ezek metszetében is. Ha x\notin A, akkor viszont x\in B és x\in C kell teljesüljön, ami azt jelenti, hogy x\in B\cap C. Azt kaptuk, hogy x\in A vagy x\in B\cap C közül legalább az egyik teljesül, azaz x\in A\cup (B\cap C) is. Ha tehát x eleme a jobboldali halmaznak, akkor eleme a baloldalinak is, tehát a jobboldali halmaz valóban részhalmaza a baloldali halmaznak.
A 6. tulajdonság: Nézzük először az A\cup (A\cap B) kifejezést. Mivel a metszetképzés miatt bármilyen x objektum esetén ha x\in A\cap B, akkor x\in A, ezért ez egyben azt is jelenti, hogy a zárójelben lévő metszet részhalmaza A-nak. A fenti kifejezésben tehát tulajdonképpen az A halmaznak egy X részhalmazával vett úniója szerepel. Az A\cup X únió viszont nyilvánvalóan A-val egyezik meg, mivel X-nek nincs olyan eleme, ami ne lenne magának A-nak is eleme – hiszen X\sube A. Valóban igaz tehát, hogy A\cup (A\cap B)=A, azaz teljesül az első elnyelési tulajdonság.
A második elnyelési tulajdonság az 5. pontban igazolt disztributivitásból és a 2. pontban igazolt idempotenciából következik:
A 7. tulajdonság: Az üres halmaz komplementere az U\setminus \empty különbséghalmaz, amely a 19.3. Definíció alapján azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne vannak U-ban, de nincsenek benne az üres halmazban. Tekintve, hogy az üres halmazban egyáltalán nincsenek elemek, ezért ez a különbséghalmaz magával U-val egyezik meg. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaz komplementere az U\setminus U különbséghalmaz, amely tehát azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne is vannak és nincsenek is benne U-ban. Ilyen elem létezése a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában említett "kizárt harmadik elve" alapján ellentmondás lenne, ezért ez a különbséghalmaz csak az üres halmaz lehet.
A 8. tulajdonság: Az \overline{A} komplementerhalmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyekre nem igaz az, hogy elemei A-nak. Ennek a komplementere pedig azokat, amelyekre nem igaz az, hogy nem elemei A-nak. Ezek viszont a dupla tagadás miatt épp A elemei, azaz valóban \overline{\overline{A}}=A.
A 9. tulajdonság: Az A halmaz és komplementerének úniója azokat az x elemeket tartalmazza, amelyekre x\in A vagy x\notin A közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában említett "kizárt harmadik elve" alapján minden létező x-re igaz, így tehát valóban A\cup \overline{A}=U. Ehhez hasonlóan az A halmaz és komplementerének metszete az üres halmaz, máskülönben létezne olyan x, amelyre x\in A és x\notin A egyszerre teljesülne, ami ellentmond a "kizárt harmadik elvének". Így tehát valóban A\cap \overline{A}=\empty.
Végül a 10. tulajdonság: Az A\cup B komplementerébe azok az x elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy x\in A vagy x\in B közül legalább az egyik teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek sem A-ban, sem pedig B-ben nincsenek benne, azaz ezekre x\notin A és x\notin B egyszerre teljesül. Ez viszont épp A és B komplementerhalmazainak a metszete. Ehhez hasonlóan az A\cap B komplementerébe azok az x elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy x\in A és x\in B egyszerre teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek A és B közül legalább az egyikben nincsenek benne, azaz ezekre x\notin A vagy x\notin B közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont épp A és B komplementerhalmazainak az úniója.
∎