Bizonyítás
Az 1. tulajdonság: Ez nyilvánvalóan következik az üres halmaz és az univerzális halmaz definíciójából. Az üres halmaznak ugyanis nincs egyetlen eleme sem, így a vele végzett únióképzés nem ad hozzá elemeket semmilyen halmazhoz. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaznak minden objektum az eleme, így a vele végzett metszetképzés nem vesz el elemeket semmilyen halmazból.
A 2. tulajdonság: Ez is teljesen nyilvánvalóan adódik az únió- és a metszetképzés definíciójából.
A 3. tulajdonság: Ha vagy közül legalább az egyik teljesül, akkor ez nyilván nem változik a két feltétel megcserélésével sem. Így tehát az halmaz pontosan meg fog egyezni a halmazzal. Ugyanez a gondolatmenet a metszetképzéssel is végigjátszható.
A 4. tulajdonság Az únióképzésre vonatkozó asszociativitás mindkét oldalán az a halmaz szerepel, amelynek minden eleme esetén , vagy közül legalább az egyik teljesül, hiszen teljesen mindegy, hogy ezt a három feltételt milyen sorrendben ellenőrizzük le. A metszetképzés vonatkozó asszociativitásra ugyanez a gondolatmenet végigjátszható.
Az 5. tulajdonság: Csak az első disztributivitási szabályt fogjuk igazolni, a másik nagyon hasonló gondolatmenettel igazolható. A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt kell megmutatnunk, hogy a kifejezés két oldalán lévő halmazok kölcsönösen részhalmazai egymásnak. E két tartalmazási reláció igazolásának technikai részleteit az alábbiakban ismertetjük.
Tegyük fel, hogy egy objektum benne van a baloldali, azaz az únióhalmazban. Itt az únió miatt két eset lehetséges. Első esetben , és ekkor nyilván és is teljesül, tehát is. Második esetben , de ekkor viszont az únió miatt , tehát és egyszerre teljesül. Ilyenkor megintcsak teljesülnek az és relációk, azaz is. Mindkét esetben azt kaptuk, hogyha eleme a baloldali halmaznak, akkor eleme a jobboldalinak is, tehát a baloldali halmaz valóban részhalmaza a jobboldali halmaznak.
Most tegyük fel, hogy benne van a jobboldali, azaz az metszethalmazban. Itt a metszet miatt tehát és is teljesül. Ez két ok miatt teljesülhet. Egyrészt, ha , akkor jók vagyunk, mert ekkor benne van minkét únióban, és így ezek metszetében is. Ha , akkor viszont és kell teljesüljön, ami azt jelenti, hogy . Azt kaptuk, hogy vagy közül legalább az egyik teljesül, azaz is. Ha tehát eleme a jobboldali halmaznak, akkor eleme a baloldalinak is, tehát a jobboldali halmaz valóban részhalmaza a baloldali halmaznak.
A 6. tulajdonság: Nézzük először az kifejezést. Mivel a metszetképzés miatt bármilyen objektum esetén ha , akkor , ezért ez egyben azt is jelenti, hogy a zárójelben lévő metszet részhalmaza -nak. A fenti kifejezésben tehát tulajdonképpen az halmaznak egy részhalmazával vett úniója szerepel. Az únió viszont nyilvánvalóan -val egyezik meg, mivel -nek nincs olyan eleme, ami ne lenne magának -nak is eleme – hiszen . Valóban igaz tehát, hogy , azaz teljesül az első elnyelési tulajdonság.
A második elnyelési tulajdonság az 5. pontban igazolt disztributivitásból és a 2. pontban igazolt idempotenciából következik:
A 7. tulajdonság: Az üres halmaz komplementere az különbséghalmaz, amely a 19.3. Definíció alapján azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne vannak -ban, de nincsenek benne az üres halmazban. Tekintve, hogy az üres halmazban egyáltalán nincsenek elemek, ezért ez a különbséghalmaz magával -val egyezik meg. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaz komplementere az különbséghalmaz, amely tehát azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne is vannak és nincsenek is benne -ban. Ilyen elem létezése a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában említett "kizárt harmadik elve" alapján ellentmondás lenne, ezért ez a különbséghalmaz csak az üres halmaz lehet.
A 8. tulajdonság: Az komplementerhalmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyekre nem igaz az, hogy elemei -nak. Ennek a komplementere pedig azokat, amelyekre nem igaz az, hogy nem elemei -nak. Ezek viszont a dupla tagadás miatt épp elemei, azaz valóban .
A 9. tulajdonság: Az halmaz és komplementerének úniója azokat az elemeket tartalmazza, amelyekre vagy közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont a 19.1. Definíció utáni megjegyzés 4. pontjában említett "kizárt harmadik elve" alapján minden létező -re igaz, így tehát valóban . Ehhez hasonlóan az halmaz és komplementerének metszete az üres halmaz, máskülönben létezne olyan , amelyre és egyszerre teljesülne, ami ellentmond a "kizárt harmadik elvének". Így tehát valóban .
Végül a 10. tulajdonság: Az komplementerébe azok az elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy vagy közül legalább az egyik teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek sem -ban, sem pedig -ben nincsenek benne, azaz ezekre és egyszerre teljesül. Ez viszont épp és komplementerhalmazainak a metszete. Ehhez hasonlóan az komplementerébe azok az elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy és egyszerre teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek és közül legalább az egyikben nincsenek benne, azaz ezekre vagy közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont épp és komplementerhalmazainak az úniója.
∎