19.4. Tétel
Halmazműveletek tulajdonságai
Legyenek A, B és C tetszőleges halmazok, valamint jelölje U az univerzális, \empty pedig az üres halmazt. Ekkor teljesülnek az alábbiak:
1.
Az üres halmaz az unióképzés, az univerzális halmaz pedig a metszetképzés műveletére nézve neutrális elem, azaz:
\begin{aligned}
A\cup \empty&=A \\
A\cap U&=A
\end{aligned}
2.
Mindkét műveletre teljesül az úgynevezet idempotencia, azaz:
\begin{aligned}
A\cup A&=A \\
A\cap A&=A
\end{aligned}
3.
4.
Mindkét művelet asszociatív, azaz:
\begin{aligned}
(A\cup B)\cup C&=A\cup (B\cup C) \\
(A\cap B)\cap C&=A\cap (B\cap C)
\end{aligned}
5.
A két művelet kölcsönösen disztributív egymásra nézve, azaz:
\begin{aligned}
A\cup (B\cap C)&=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\
A\cap (B\cup C)&=(A\cap B)\cup (A\cap C)
\end{aligned}
6.
Mindkét műveletre teljesül az úgynevezett elnyelési tulajdonság, azaz:
\begin{aligned}
A\cup (A\cap B)&=A \\
A\cap (A\cup B)&=A
\end{aligned}
7.
Az üres halmaz és az univerzális halmaz egymás komplementerei, azaz:
\begin{aligned}
\overline{\empty}&=U \\
\overline{U}&=\empty
\end{aligned}
8.
A komplementerképzést duplán elvégezve az eredeti halmazt kapjuk vissza, azaz:
\overline{\overline{A}}=A
9.
Bármely halmaz és komplementerének úniója az univerzális halmaz, metszetük pedig az üres halmaz, azaz:
\begin{aligned}
A\cup \overline{A}&=U \\
A\cap \overline{A}&=\empty
\end{aligned}
10.
Teljesülnek az úgynevezett de Morgan-azonosságok, azaz:
\begin{aligned}
\overline{A\cup B}&=\overline{A}\cap \overline{B} \\
\overline{A\cap B}&=\overline{A}\cup \overline{B}
\end{aligned}
♣