youproof.orgDeep Math. Human Access.

19.4. Tétel

Halmazműveletek tulajdonságai

Legyenek AA, BB és CC tetszőleges halmazok, valamint jelölje UU az univerzális, ∅\empty pedig az üres halmazt. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1.
Az üres halmaz az unióképzés, az univerzális halmaz pedig a metszetképzés műveletére nézve neutrális elem, azaz:
A∪∅=AA∩U=A\begin{aligned} A\cup \empty&=A \\ A\cap U&=A \end{aligned}
2.
Mindkét műveletre teljesül az úgynevezet idempotencia, azaz:
A∪A=AA∩A=A\begin{aligned} A\cup A&=A \\ A\cap A&=A \end{aligned}
3.
Mindkét művelet kommutatív, azaz:
A∪B=B∪AA∩B=B∩A\begin{aligned} A\cup B&=B\cup A \\ A\cap B&=B\cap A \end{aligned}
4.
Mindkét művelet asszociatív, azaz:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)\begin{aligned} (A\cup B)\cup C&=A\cup (B\cup C) \\ (A\cap B)\cap C&=A\cap (B\cap C) \end{aligned}
5.
A két művelet kölcsönösen disztributív egymásra nézve, azaz:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)\begin{aligned} A\cup (B\cap C)&=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\ A\cap (B\cup C)&=(A\cap B)\cup (A\cap C) \end{aligned}
6.
Mindkét műveletre teljesül az úgynevezett elnyelési tulajdonság, azaz:
A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A\begin{aligned} A\cup (A\cap B)&=A \\ A\cap (A\cup B)&=A \end{aligned}
7.
Az üres halmaz és az univerzális halmaz egymás komplementerei, azaz:
∅‾=UU‾=∅\begin{aligned} \overline{\empty}&=U \\ \overline{U}&=\empty \end{aligned}
8.
A komplementerképzést duplán elvégezve az eredeti halmazt kapjuk vissza, azaz:
A‾‾=A\overline{\overline{A}}=A
9.
Bármely halmaz és komplementerének úniója az univerzális halmaz, metszetük pedig az üres halmaz, azaz:
A∪A‾=UA∩A‾=∅\begin{aligned} A\cup \overline{A}&=U \\ A\cap \overline{A}&=\empty \end{aligned}
10.
Teljesülnek az úgynevezett de Morgan-azonosságok, azaz:
A∪B‾=A‾∩B‾A∩B‾=A‾∪B‾\begin{aligned} \overline{A\cup B}&=\overline{A}\cap \overline{B} \\ \overline{A\cap B}&=\overline{A}\cup \overline{B} \end{aligned}

♣