youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Tekintsük azt az ff gyűrűhomomorfizmust, amelynek II a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen XX gyűrűbe képez, amelynek nullelemét jelöljük most 0X0_X-szel, míg az RR gyűrű nullelemét jelöljük 0R0_R-rel. Az ff függvény tehát II minden eleméhez 0X0_X-et rendeli hozzá, hiszen ker⁡f=I\ker f=I. Ezt a szituációt mutatja a 18.9. ábra.

Gyűrűhomomorfizmus magja
18.9. ábra: Gyűrűhomomorfizmus magja

Az 1. tulajdonság igazolásához azt kell megmutatni, hogy II részgyűrű RR-ben. Ez a 18.15. Tétel alapján pontosan akkor teljesül, ha II tartalmazza 0R0_R-t, valamint zárt az RR gyűrű mindkét műveletére és az RR-beli ellentettképzésre.

Mivel ff gyűrűhomomorfizmus, ezért nyilván összegtartó is, így a 18.11. Lemma értelmében tartja a nullelemet és az ellentettképzést. Azaz egyrészt f(0R)=0Xf(0_R)=0_X, és így 0R0_R valóban benne van ff magjában, azaz II-ben. Másrészt ha valamilyen aa benne van II-ben, akkor f(a)=0Xf(a)=0_X, és így az ellentettképzés tartása miatt

f(−a)=−f(a)=−0X=0Xf(-a)=-f(a)=-0_X=0_X

Azaz aa ellentettjének is 0X0_X a képe, következésképp ő is benne van II-ben.

Az összeadásra való zártság szintén ff összegtartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis aa és bb az II két tetszőleges eleme, akkor egyrészt teljesülnek az alábbiak:

f(a)=0Xf(b)=0X\begin{aligned} f(a)&=0_X \\ f(b)&=0_X \end{aligned}

Másrészt viszont az összegtartás miatt az ő összegükre teljesül az alábbi:

f(a+b)=f(a)+f(b)=0X⏟=f(a)+0X⏟=f(b)=0Xf(a+b)=f(a)+f(b)=\underbrace{0_X}_{=f(a)}+\underbrace{0_X}_{=f(b)}=0_X

Tehát az a+ba+b összeg is az XX gyűrű nullelemére képeződik, következésképp ő is benne van II-ben. A szorzásra való zártság teljesen hasonló módon következik ff szorzástartó tulajdonságából. Mivel teljesül a 18.15. Tétel szerinti összes feltétel, ezért II valóban részgyűrű RR-ben.

A 2. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy rr az RR gyűrű tetszőleges – tehát nem feltétlenül II-beli – eleme. Azt kell megmutatni, hogy amennyiben ezzel akár balról, akár jobbról megszorzunk egy II-beli aa elemet, akkor az eredmény is II-beli lesz. Mivel aa benne van II-ben, ezért f(a)=0Xf(a)=0_X. Következésképp ff szorzástartó tulajdonsága miatt az r⋅ar\cdot a és a⋅ra\cdot r szorzatok képére igazak lesznek az alábbiak:

f(r⋅a)=f(r)⋅f(a)⏞=0X=0Xf(a⋅r)=f(a)⏟=0X⋅f(r)=0X\begin{aligned} f(r\cdot a)&=f(r)\cdot \overbrace{f(a)}^{=0_X}=0_X \\ f(a\cdot r)&=\underbrace{f(a)}_{=0_X}\cdot f(r)=0_X \end{aligned}

Elképzelhető ugyan, hogy a két szorzatnak nem ugyanaz lesz az eredménye az RR gyűrűben – kivéve persze ha kommutatív gyűrűről van szó –, de az biztos, hogy mindkét szorzat ff szerinti képe az XX gyűrű nulleleme lesz. Következésképp valóban benne vannak II-ben.

∎