youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Tekintsük azt az f gyűrűhomomorfizmust, amelynek I a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X gyűrűbe képez, amelynek nullelemét jelöljük most 0_X-szel, míg az R gyűrű nullelemét jelöljük 0_R-rel. Az f függvény tehát I minden eleméhez 0_X-et rendeli hozzá, hiszen \ker f=I. Ezt a szituációt mutatja a 18.9. ábra.

Gyűrűhomomorfizmus magja
18.9. ábra: Gyűrűhomomorfizmus magja

Az 1. tulajdonság igazolásához azt kell megmutatni, hogy I részgyűrű R-ben. Ez a 18.15. Tétel alapján pontosan akkor teljesül, ha I tartalmazza 0_R-t, valamint zárt az R gyűrű mindkét műveletére és az R-beli ellentettképzésre.

Mivel f gyűrűhomomorfizmus, ezért nyilván összegtartó is, így a 18.11. Lemma értelmében tartja a nullelemet és az ellentettképzést. Azaz egyrészt f(0_R)=0_X, és így 0_R valóban benne van f magjában, azaz I-ben. Másrészt ha valamilyen a benne van I-ben, akkor f(a)=0_X, és így az ellentettképzés tartása miatt

f(-a)=-f(a)=-0_X=0_X

Azaz a ellentettjének is 0_X a képe, következésképp ő is benne van I-ben.

Az összeadásra való zártság szintén f összegtartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis a és b az I két tetszőleges eleme, akkor egyrészt teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned} f(a)&=0_X \\ f(b)&=0_X \end{aligned}

Másrészt viszont az összegtartás miatt az ő összegükre teljesül az alábbi:

f(a+b)=f(a)+f(b)=\underbrace{0_X}_{=f(a)}+\underbrace{0_X}_{=f(b)}=0_X

Tehát az a+b összeg is az X gyűrű nullelemére képeződik, következésképp ő is benne van I-ben. A szorzásra való zártság teljesen hasonló módon következik f szorzástartó tulajdonságából. Mivel teljesül a 18.15. Tétel szerinti összes feltétel, ezért I valóban részgyűrű R-ben.

A 2. tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy r az R gyűrű tetszőleges – tehát nem feltétlenül I-beli – eleme. Azt kell megmutatni, hogy amennyiben ezzel akár balról, akár jobbról megszorzunk egy I-beli a elemet, akkor az eredmény is I-beli lesz. Mivel a benne van I-ben, ezért f(a)=0_X. Következésképp f szorzástartó tulajdonsága miatt az r\cdot a és a\cdot r szorzatok képére igazak lesznek az alábbiak:

\begin{aligned} f(r\cdot a)&=f(r)\cdot \overbrace{f(a)}^{=0_X}=0_X \\ f(a\cdot r)&=\underbrace{f(a)}_{=0_X}\cdot f(r)=0_X \end{aligned}

Elképzelhető ugyan, hogy a két szorzatnak nem ugyanaz lesz az eredménye az R gyűrűben – kivéve persze ha kommutatív gyűrűről van szó –, de az biztos, hogy mindkét szorzat f szerinti képe az X gyűrű nulleleme lesz. Következésképp valóban benne vannak I-ben.

∎