youproof.orgDeep Math. Human Access.

Bizonyítás

Az (1+p)^r-1 különbség egy hatványkülönbség, hiszen 1=1^r. Így a 24.18. Lemma alapján x=1+p és y=1 választással szorzattá alakítható. Mivel x-y=p, továbbá 1 bármely hatványa 1, ezért az S jelölés bevezetésével az alábbit kapjuk:

(1+p)^r-1=p\cdot \underbrace{\left((1+p)^{r-1}+(1+p)^{r-2}+\ldots +(1+p)+1\right)}_{=S}

Az S összeg pontosan r darab tagból áll. Mivel az 1+p\equiv 1\pmod p kongruencia nyilván teljesül, ezért a 20.2. Tétel 6. pontja alapján minden tag kongruens 1-gyel modulo p. A tagokat a 20.2. Tétel 4. pontja alapján összeadva tehát:

S\equiv \underbrace{1+1+\ldots +1}_{r\ \text{darab}}=r\pmod p

Mivel p\nmid r, ezért a 20.1. Tétel 3. pontja alapján r\ \cancel{\equiv}\ 0\pmod p, és ezért S-re is igaz, hogy

S\ \cancel{\equiv}\ 0\pmod p

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja szerint azt jelenti, hogy az S összeg nem osztható p-vel. Tegyük fel most indirekt, hogy

(1+p)^r\equiv 1\pmod{p^2}

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi oszthatóságot jelenti:

p^2|\underbrace{(1+p)^r-1}_{=pS}

Ebből viszont a 17.8. Tétel szerint p-vel egyszerűsítve p|S következne, ami ellentmondás.

∎