Bizonyítás

Két dolgot kell bizonyítani. Egyrészt azt, hogy bármely $r$ elem akkor és csak akkor osztója $a$-nak, ha $(-a)$-nak is. A 16.2. Tétel 8. pontja épp azt mondja ki, hogy ha teljesül $r|a$, akkor teljesül $r|(-a)$ is. Ez azonban természetesen visszafelé is igaz a 15.1. Tétel 2. pontja miatt, miszerint minden elem ellentettjének az ellentettje önmaga. Azaz ha teljesül $r|(-a)$ akkor teljesül $r|\underbrace{(-(-a))}_{=a}$ is.

A másik dolog, ami bizonyítani kell, hogy bármely $r$ elem akkor és csak akkor többszöröse $a$-nak, ha $(-a)$-nak is. Azaz $a|r$ akkor és csak akkor teljesül, ha $(-a)|r$ is teljesül. A 16.2. Tétel 8. pontja azonban azt is kimondja, hogy ha teljesül $a|r$, akkor teljesül $(-a)|r$ is, így az előző gondolatmenet szinte szó szerint érvényes itt is.

Ez az 1. tulajdonság egyszerű következménye. Ugyanis, mivel $b\sim (-b)$ igaz, így amennyiben $a\sim b$ is igaz, akkor a 16.7. Tételben már igazolt tranzitivitás miatt $a\sim (-b)$ is igaz. A másik két asszociáltság ugyanezen okok miatt teljesül.

Mivel az asszociáltság a 16.7. Tétel értelmében reflexív, ezért $0\sim 0$ nyilván teljesül. Azt kell megmutatni, hogy a nullelemnek nincs más asszociáltja. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, azaz létezik olyan $r\neq 0$ elem a gyűrűben, amelyre $0\sim r$ teljesül. Ez tehát azt jelenti, hogy a $0$-nak és az $r$ elemnek pontosan ugyanazok az osztóik – és persze a többszöröseik is, de ez minket most nem érdekel. A $0$-nak viszont a 16.2. Tétel 3. pontja alapján osztója minden elem. A feltételezett asszociáltság miatt ekkor $r$-nak is osztója minden elem, tehát speciálisan maga a $0$ is. A 16.2. Tétel 4. pontja alapján azonban a $0|r$ oszthatóságból $r=0$ következik, ami ellentmond indirekt feltételezésünknek, miszerint $r\neq 0$.

Tegyük fel, hogy egyszerre teljesülnek az $a|b$ és a $b|a$ oszthatóságok. Ekkor ha bármely $d_1$ elemre teljesül a $d_1|a$ oszthatóság, akkor a 16.2. Tétel 5. pontjában igazolt tranzitivitás miatt teljesül a $d_1|b$ oszthatóság is. Ugyanezen okok miatt ha bármely $d_2$ elem osztója $b$-nek, akkor $a$-nak is. Az $a$ elemnek tehát pontosan ugyanazok az osztói, mint a $b$ elemnek.

Ugyanez a gondolatmenet a többszörösökre is végigjátszható: Ha bármely $t_1$ elemre teljesül az $a|t_1$ oszthatóság, akkor a tranzitivitás miatt teljesül a $b|t_1$ oszthatóság is. Ugyanezen okok miatt ha bármely $t_2$ elem többszöröse $b$-nek, akkor $a$-nak is. Az $a$ elemnek tehát ponotosan ugyanazok a többszörösei, mint a $b$ elemnek.

Láttuk tehát, hogy $a|b$ és $b|a$ együttes fennállása esetén $a$-nak és $b$-nek pontosan ugyanazok lesznek az osztói és a többszörösei is. Ez viszont épp azt jelenti, hogy $a\sim b$.

Ha $a$ egység, akkor ő minden elemnek osztója, vagy másként fogalmazva neki minden elem a többszöröse. Ha mármost $a\sim b$, akkor $b$-nek is minden elem a többszöröse, vagy másként fogalmazva ő minden elemnek osztója, és emiatt ő is egység.

Visszafelé: Ha $a$ és $b$ is egység, akkor ők minden elemnek osztói. Speciálisan tehát egymásnak is, és így a már igazolt 4. tulajdonság miatt valóban asszociáltak.