Bizonyítás

Két dolgot kell bizonyítani. Egyrészt azt, hogy bármely r elem akkor és csak akkor osztója a-nak, ha (-a)-nak is. A 16.2. Tétel 8. pontja épp azt mondja ki, hogy ha teljesül r|a, akkor teljesül r|(-a) is. Ez azonban természetesen visszafelé is igaz a 15.1. Tétel 2. pontja miatt, miszerint minden elem ellentettjének az ellentettje önmaga. Azaz ha teljesül r|(-a) akkor teljesül r|\underbrace{(-(-a))}_{=a} is.

A másik dolog, ami bizonyítani kell, hogy bármely r elem akkor és csak akkor többszöröse a-nak, ha (-a)-nak is. Azaz a|r akkor és csak akkor teljesül, ha (-a)|r is teljesül. A 16.2. Tétel 8. pontja azonban azt is kimondja, hogy ha teljesül a|r, akkor teljesül (-a)|r is, így az előző gondolatmenet szinte szó szerint érvényes itt is.

Ez az 1. tulajdonság egyszerű következménye. Ugyanis, mivel b\sim (-b) igaz, így amennyiben a\sim b is igaz, akkor a 16.7. Tételben már igazolt tranzitivitás miatt a\sim (-b) is igaz. A másik két asszociáltság ugyanezen okok miatt teljesül.

Mivel az asszociáltság a 16.7. Tétel értelmében reflexív, ezért 0\sim 0 nyilván teljesül. Azt kell megmutatni, hogy a nullelemnek nincs más asszociáltja. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, azaz létezik olyan r\neq 0 elem a gyűrűben, amelyre 0\sim r teljesül. Ez tehát azt jelenti, hogy a 0-nak és az r elemnek pontosan ugyanazok az osztóik – és persze a többszöröseik is, de ez minket most nem érdekel. A 0-nak viszont a 16.2. Tétel 3. pontja alapján osztója minden elem. A feltételezett asszociáltság miatt ekkor r-nak is osztója minden elem, tehát speciálisan maga a 0 is. A 16.2. Tétel 4. pontja alapján azonban a 0|r oszthatóságból r=0 következik, ami ellentmond indirekt feltételezésünknek, miszerint r\neq 0.

Tegyük fel, hogy egyszerre teljesülnek az a|b és a b|a oszthatóságok. Ekkor ha bármely d_1 elemre teljesül a d_1|a oszthatóság, akkor a 16.2. Tétel 5. pontjában igazolt tranzitivitás miatt teljesül a d_1|b oszthatóság is. Ugyanezen okok miatt ha bármely d_2 elem osztója b-nek, akkor a-nak is. Az a elemnek tehát pontosan ugyanazok az osztói, mint a b elemnek.

Ugyanez a gondolatmenet a többszörösökre is végigjátszható: Ha bármely t_1 elemre teljesül az a|t_1 oszthatóság, akkor a tranzitivitás miatt teljesül a b|t_1 oszthatóság is. Ugyanezen okok miatt ha bármely t_2 elem többszöröse b-nek, akkor a-nak is. Az a elemnek tehát ponotosan ugyanazok a többszörösei, mint a b elemnek.

Láttuk tehát, hogy a|b és b|a együttes fennállása esetén a-nak és b-nek pontosan ugyanazok lesznek az osztói és a többszörösei is. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a\sim b.

Ha a egység, akkor ő minden elemnek osztója, vagy másként fogalmazva neki minden elem a többszöröse. Ha mármost a\sim b, akkor b-nek is minden elem a többszöröse, vagy másként fogalmazva ő minden elemnek osztója, és emiatt ő is egység.

Visszafelé: Ha a és b is egység, akkor ők minden elemnek osztói. Speciálisan tehát egymásnak is, és így a már igazolt 4. tulajdonság miatt valóban asszociáltak.